Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

1. Kiến thức trọng tâm

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b)$. Đạo hàm của $f$ tại $x_0$, kí hiệu $f'(x_0)$, là giới hạn (nếu có) $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$. Đặt $\Delta x = x - x_0$ và $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$, ta có dạng tương đương $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Nếu giới hạn này tồn tại (hữu hạn) thì hàm số có đạo hàm tại $x_0$; ngược lại, hàm số không có đạo hàm tại $x_0$.

Ý nghĩa hình học: $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M(x_0; f(x_0))$. Phương trình tiếp tuyến là $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. Ý nghĩa vật lí: nếu $s = s(t)$ là quãng đường của một chuyển động thì vận tốc tức thời tại thời điểm $t_0$ là $v(t_0) = s'(t_0)$; gia tốc tức thời là đạo hàm của vận tốc.

Một hàm số có đạo hàm tại $x_0$ thì liên tục tại $x_0$, nhưng điều ngược lại không đúng: hàm số liên tục chưa chắc có đạo hàm, ví dụ $y = |x|$ liên tục tại $0$ nhưng không có đạo hàm tại $0$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của $f(x) = x^2$ tại $x_0 = 2$ bằng định nghĩa.

Lời giải: $\frac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x} = \frac{(2 + \Delta x)^2 - 4}{\Delta x} = \frac{4\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 4 + \Delta x$. Cho $\Delta x \to 0$, ta được $f'(2) = 4$.

Ví dụ 2. Phương trình tiếp tuyến của parabol $y = x^2$ tại điểm $(2; 4)$ là $y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 4$.

3. Ghi nhớ

• Định nghĩa: $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$.
• Ý nghĩa hình học: $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0$.
• Ý nghĩa vật lí: đạo hàm của quãng đường là vận tốc tức thời.
• Có đạo hàm thì liên tục, nhưng liên tục chưa chắc có đạo hàm.