Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

1. Kiến thức trọng tâm

Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Nói cách khác, xác suất để cả hai biến cố cùng xảy ra bằng tích các xác suất của từng biến cố. Đây là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, và cũng là dấu hiệu để nhận biết tính độc lập trong nhiều bài toán.

Công thức này mở rộng cho nhiều biến cố độc lập từng đôi một: $P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot \dots \cdot P(A_n)$. Nếu $A$ và $B$ độc lập thì $A$ và $\bar{B}$, $\bar{A}$ và $B$, $\bar{A}$ và $\bar{B}$ cũng độc lập với nhau. Tính chất này giúp tính xác suất của các biến cố "không xảy ra" một cách thuận tiện.

Trong thực tế, tính độc lập thường xuất phát từ bản chất của phép thử: tung các đồng xu khác nhau, gieo các con xúc xắc khác nhau, bắn các phát súng độc lập, rút bài có hoàn lại.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Gieo hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để cả hai con đều ra mặt $6$.

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố "con thứ nhất ra mặt $6$", $B$ là biến cố "con thứ hai ra mặt $6$". Hai biến cố độc lập, $P(A) = P(B) = \frac{1}{6}$. Vậy $P(A \cap B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

Ví dụ 2. Một xạ thủ bắn hai phát độc lập, xác suất trúng mỗi phát là $0,8$. Xác suất cả hai phát đều trúng là $0,8 \cdot 0,8 = 0,64$. Xác suất cả hai phát đều trượt là $0,2 \cdot 0,2 = 0,04$. Xác suất ít nhất một phát trúng là $1 - 0,04 = 0,96$.

3. Ghi nhớ

• Độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
• Nếu $A$, $B$ độc lập thì các cặp với biến cố đối cũng độc lập.
• Chỉ dùng công thức nhân khi đã chắc hai biến cố độc lập.
• Rút không hoàn lại thường cho các biến cố không độc lập.