Bài 29: Công thức cộng xác suất

1. Kiến thức trọng tâm

Công thức cộng xác suất cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kì là: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Số hạng trừ $P(A \cap B)$ có mặt vì phần giao đã được đếm hai lần, một lần trong $P(A)$ và một lần trong $P(B)$. Nếu $A$ và $B$ xung khắc, tức $A \cap B = \varnothing$ thì $P(A \cap B) = 0$, công thức trở thành $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Công thức này mở rộng cho nhiều biến cố đôi một xung khắc: nếu $A_1, A_2, \dots, A_n$ đôi một xung khắc thì $P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_n)$. Một trường hợp đặc biệt hay dùng: $A$ và biến cố đối $\bar{A}$ là xung khắc và $A \cup \bar{A} = \Omega$ nên $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. Khi bài toán yêu cầu "ít nhất một" mà tính trực tiếp khó, ta thường tính qua biến cố đối.

Để áp dụng đúng công thức, cần xác định rõ biến cố giao: nhiều học sinh quên trừ $P(A \cap B)$ khi $A$ và $B$ không xung khắc, dẫn đến kết quả lớn hơn $1$ hoặc sai.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để mặt xuất hiện là chẵn hoặc lớn hơn $4$.

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố "mặt chẵn", $B$ là biến cố "mặt lớn hơn $4$". Ta có $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, $P(A \cap B) = P({6}) = \frac{1}{6}$. Vậy $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$.

Ví dụ 2. Rút một lá bài từ bộ $52$ lá. Xác suất rút được lá Át hoặc lá Cơ: $P = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$.

3. Ghi nhớ

• Công thức tổng quát: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
• Nếu xung khắc: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
• Biến cố đối: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ — hữu ích với bài toán "ít nhất một".
• Đừng quên trừ $P(A \cap B)$ khi hai biến cố không xung khắc.