Bài tập — Bài 5: Dãy số

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 5: Dãy số? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Phân biệt dãy số hữu hạn (chỉ có một số số hạng) và dãy số vô hạn. C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 5: Dãy số, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. B. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. C. Công thức truy hồi cho biết cách tính số hạng sau từ số hạng trước, cần biết số hạng đầu. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 5: Dãy số, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. C. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học. D. Dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương $\mathbb{N}^*$ .

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 5: Dãy số, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Dãy số có thể cho bằng công thức số hạng tổng quát $u_n = f(n)$ , bằng công thức truy hồi, hoặc bằng mô tả trực tiếp. B. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 5: Dãy số, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Ví dụ. Cho dãy số $u_n = 2n - 1$ . Viết năm số hạng đầu và xét tính đơn điệu.

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 5: Dãy số để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Lời giải. Năm số hạng đầu là $u_1 = 1$ , $u_2 = 3$ , $u_3 = 5$ , $u_4 = 7$ , $u_5 = 9$ . Ta có $u_{n+1} - u_n = [2(n+1) - 1] - (2n - 1) = 2 > 0$ nên dãy tăng.

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Cho cấp số cộng có $u_1 = 2$ , công sai $d = -3$ . Tính $u_8$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Cho cấp số nhân có $u_1 = 2$ , công bội $q = 3$ . Tính $u_5$ .

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Cho cấp số nhân có $u_1 = 81$ , công bội $q = \dfrac{1}{3}$ . Tính $u_4$ .

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-B, 2-C, 3-D, 4-A.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (B): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Phân biệt dãy số hữu hạn (chỉ có một số số hạng) và dãy số vô hạn."
- Câu 2 (C): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Công thức truy hồi cho biết cách tính số hạng sau từ số hạng trước, cần biết số hạng đầu."
- Câu 3 (D): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương $\mathbb{N}^$."*
- Câu 4 (A): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Dãy số có thể cho bằng công thức số hạng tổng quát $u_n = f(n)$ , bằng công thức truy hồi, hoặc bằng mô tả trực tiếp."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương $\mathbb{N}^*$ . Mỗi giá trị $u_n$ được gọi là số hạng thứ $n$ của dãy số $(u_n)$ .
- Tổng kết ghi nhớ: Phân biệt dãy số hữu hạn (chỉ có một số số hạng) và dãy số vô hạn.; Công thức truy hồi cho biết cách tính số hạng sau từ số hạng trước, cần biết số hạng đầu.; Để chứng minh dãy bị chặn, tìm $m$ và $M$ sao cho $m \le u_n \le M$ với mọi $n$ .
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ. Cho dãy số $u_n = 2n - 1$ . Viết năm số hạng đầu và xét tính đơn điệu.
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 5: Dãy số (Phân biệt dãy số hữu hạn (chỉ có một số số hạng) và dãy số vô hạn.; Công thức truy hồi cho biết cách tính số hạng sau từ số hạng trước, cần biết số hạng đầu.; Để chứng minh dãy bị chặn, tìm $m$ và $M$ sao cho $m \le u_n \le M$ với mọi $n$ .).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải. Năm số hạng đầu là $u_1 = 1$ , $u_2 = 3$ , $u_3 = 5$ , $u_4 = 7$ , $u_5 = 9$ . Ta có $u_{n+1} - u_n = [2(n+1) - 1] - (2n - 1) = 2 > 0$ nên dãy tăng.
Bài 4: $u_8 = 2 + 7 \cdot (-3) = -19$ .
Bài 5: $u_5 = 2 \cdot 3^4 = 162$ .
Bài 6: $u_4 = 81 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = 3$ .

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

\mathbb{N}^*

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 5: Dãy số, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Dãy số có thể cho bằng công thức số hạng tổng quát

u_n = f(n)

, bằng công thức truy hồi, hoặc bằng mô tả trực tiếp. B. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Ví dụ. Cho dãy số $u_n = 2n - 1$ . Viết năm số hạng đầu và xét tính đơn điệu.

Lời giải. Năm số hạng đầu là $u_1 = 1$ , $u_2 = 3$ , $u_3 = 5$ , $u_4 = 7$ , $u_5 = 9$ . Ta có $u_{n+1} - u_n = [2(n+1) - 1] - (2n - 1) = 2 > 0$ nên dãy tăng.

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Cho cấp số cộng có

u_1 = 2

, công sai

d = -3

. Tính

u_8

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Cho cấp số nhân có

u_1 = 2

, công bội

q = 3

. Tính

u_5

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Cho cấp số nhân có

u_1 = 81

, công bội

q = \dfrac{1}{3}

. Tính

u_4

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-B, 2-C, 3-D, 4-A.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (B): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Phân biệt dãy số hữu hạn (chỉ có một số số hạng) và dãy số vô hạn."
Câu 2 (C): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Công thức truy hồi cho biết cách tính số hạng sau từ số hạng trước, cần biết số hạng đầu."
Câu 3 (D): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương $\mathbb{N}^$."*
Câu 4 (A): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Dãy số có thể cho bằng công thức số hạng tổng quát $u_n = f(n)$ , bằng công thức truy hồi, hoặc bằng mô tả trực tiếp."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương $\mathbb{N}^*$ . Mỗi giá trị $u_n$ được gọi là số hạng thứ $n$ của dãy số $(u_n)$ .
Tổng kết ghi nhớ: Phân biệt dãy số hữu hạn (chỉ có một số số hạng) và dãy số vô hạn.; Công thức truy hồi cho biết cách tính số hạng sau từ số hạng trước, cần biết số hạng đầu.; Để chứng minh dãy bị chặn, tìm $m$ và $M$ sao cho $m \le u_n \le M$ với mọi $n$ .

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ. Cho dãy số $u_n = 2n - 1$ . Viết năm số hạng đầu và xét tính đơn điệu.
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 5: Dãy số (Phân biệt dãy số hữu hạn (chỉ có một số số hạng) và dãy số vô hạn.; Công thức truy hồi cho biết cách tính số hạng sau từ số hạng trước, cần biết số hạng đầu.; Để chứng minh dãy bị chặn, tìm $m$ và $M$ sao cho $m \le u_n \le M$ với mọi $n$ .).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải. Năm số hạng đầu là $u_1 = 1$ , $u_2 = 3$ , $u_3 = 5$ , $u_4 = 7$ , $u_5 = 9$ . Ta có $u_{n+1} - u_n = [2(n+1) - 1] - (2n - 1) = 2 > 0$ nên dãy tăng.

Bài 4:

u_8 = 2 + 7 \cdot (-3) = -19

Bài 5:

u_5 = 2 \cdot 3^4 = 162

Bài 6:

u_4 = 81 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = 3