Bài tập — Bài 6: Cấp số cộng

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 6: Cấp số cộng? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. C. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác. D. Muốn tìm $d$ , tính $d = u_{n+1} - u_n$ với bất kì $n$ nào.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 6: Cấp số cộng, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Công thức $u_n = u_1 + (n - 1)d$ dùng để tìm số hạng thứ $n$ hoặc tìm $n$ khi biết $u_n$ . B. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 6: Cấp số cộng, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Cấp số cộng là dãy số $(u_n)$ trong đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$ , gọi là công sai. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 6: Cấp số cộng, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. C. Số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_n = u_1 + (n - 1)d$ . D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 6: Cấp số cộng, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Ví dụ. Cho cấp số cộng có $u_1 = 3$ và $d = 5$ . Tìm $u_{10}$ và $S_{10}$ .

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 6: Cấp số cộng để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Lời giải. Ta có $u_{10} = u_1 + 9d = 3 + 9 \cdot 5 = 48$ . Tổng $S_{10} = \frac{10(3 + 48)}{2} = 255$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tìm nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: $[0; 5)$ có tần số $3$ , $[5; 10)$ có tần số $9$ , $[10; 15)$ có tần số $6$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Giải phương trình $\sin 2x = 1$ .

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Giải phương trình $\cos 3x = 0$ .

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-D, 2-A, 3-B, 4-C.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (D): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Muốn tìm $d$ , tính $d = u_{n+1} - u_n$ với bất kì $n$ nào."
- Câu 2 (A): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Công thức $u_n = u_1 + (n - 1)d$ dùng để tìm số hạng thứ $n$ hoặc tìm $n$ khi biết $u_n$ ."
- Câu 3 (B): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Cấp số cộng là dãy số $(u_n)$ trong đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$ , gọi là công sai."
- Câu 4 (C): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_n = u_1 + (n - 1)d$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Cấp số cộng là dãy số $(u_n)$ trong đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$ , gọi là công sai. Công thức truy hồi: $u_{n+1} = u_n + d$ với mọi $n \ge 1$ .
- Tổng kết ghi nhớ: Muốn tìm $d$ , tính $d = u_{n+1} - u_n$ với bất kì $n$ nào.; Công thức $u_n = u_1 + (n - 1)d$ dùng để tìm số hạng thứ $n$ hoặc tìm $n$ khi biết $u_n$ .; Công thức tổng $S_n$ có hai dạng, chọn dạng phù hợp với dữ kiện đã cho.
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ. Cho cấp số cộng có $u_1 = 3$ và $d = 5$ . Tìm $u_{10}$ và $S_{10}$ .
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 6: Cấp số cộng (Muốn tìm $d$ , tính $d = u_{n+1} - u_n$ với bất kì $n$ nào.; Công thức $u_n = u_1 + (n - 1)d$ dùng để tìm số hạng thứ $n$ hoặc tìm $n$ khi biết $u_n$ .; Công thức tổng $S_n$ có hai dạng, chọn dạng phù hợp với dữ kiện đã cho.).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải. Ta có $u_{10} = u_1 + 9d = 3 + 9 \cdot 5 = 48$ . Tổng $S_{10} = \frac{10(3 + 48)}{2} = 255$ .
Bài 4: Nhóm $[5; 10)$ (tần số lớn nhất bằng $9$ ).
Bài 5: $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ .
Bài 6: $x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3}$ .

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

d

, tính

d = u_{n+1} - u_n

với bất kì

n

nào.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 6: Cấp số cộng, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Công thức

u_n = u_1 + (n - 1)d

dùng để tìm số hạng thứ

n

hoặc tìm

n

khi biết

u_n

. B. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

(u_n)

trong đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi

d

, gọi là công sai. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

u_n = u_1 + (n - 1)d

. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Ví dụ. Cho cấp số cộng có $u_1 = 3$ và $d = 5$ . Tìm $u_{10}$ và $S_{10}$ .

Lời giải. Ta có $u_{10} = u_1 + 9d = 3 + 9 \cdot 5 = 48$ . Tổng $S_{10} = \frac{10(3 + 48)}{2} = 255$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tìm nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm:

[0; 5)

có tần số

3

[5; 10)

có tần số

9

[10; 15)

có tần số

6

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Giải phương trình

\sin 2x = 1

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Giải phương trình

\cos 3x = 0

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-D, 2-A, 3-B, 4-C.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (D): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Muốn tìm $d$ , tính $d = u_{n+1} - u_n$ với bất kì $n$ nào."
Câu 2 (A): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Công thức $u_n = u_1 + (n - 1)d$ dùng để tìm số hạng thứ $n$ hoặc tìm $n$ khi biết $u_n$ ."
Câu 3 (B): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Cấp số cộng là dãy số $(u_n)$ trong đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$ , gọi là công sai."
Câu 4 (C): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_n = u_1 + (n - 1)d$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Cấp số cộng là dãy số $(u_n)$ trong đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$ , gọi là công sai. Công thức truy hồi: $u_{n+1} = u_n + d$ với mọi $n \ge 1$ .
Tổng kết ghi nhớ: Muốn tìm $d$ , tính $d = u_{n+1} - u_n$ với bất kì $n$ nào.; Công thức $u_n = u_1 + (n - 1)d$ dùng để tìm số hạng thứ $n$ hoặc tìm $n$ khi biết $u_n$ .; Công thức tổng $S_n$ có hai dạng, chọn dạng phù hợp với dữ kiện đã cho.

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ. Cho cấp số cộng có $u_1 = 3$ và $d = 5$ . Tìm $u_{10}$ và $S_{10}$ .
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 6: Cấp số cộng (Muốn tìm $d$ , tính $d = u_{n+1} - u_n$ với bất kì $n$ nào.; Công thức $u_n = u_1 + (n - 1)d$ dùng để tìm số hạng thứ $n$ hoặc tìm $n$ khi biết $u_n$ .; Công thức tổng $S_n$ có hai dạng, chọn dạng phù hợp với dữ kiện đã cho.).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải. Ta có $u_{10} = u_1 + 9d = 3 + 9 \cdot 5 = 48$ . Tổng $S_{10} = \frac{10(3 + 48)}{2} = 255$ .

Bài 4: Nhóm

[5; 10)

(tần số lớn nhất bằng

9

Bài 5:

x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi

Bài 6:

x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3}