Bài tập ôn tập cuối năm

1. Kiến thức trọng tâm

Ôn tập cuối năm tổng hợp toàn bộ kiến thức Toán 11: lượng giác, dãy số và cấp số, thống kê, quan hệ song song và vuông góc trong không gian, giới hạn và liên tục, hàm số mũ và lôgarit, xác suất và đạo hàm.

Về lượng giác: nắm công thức cộng, nhân đôi, biến đổi tổng thành tích; giải phương trình $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$ và xét tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác. Về dãy số: nhận biết cấp số cộng với $u_n = u_1 + (n-1)d$ và tổng $S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$; cấp số nhân với $u_n = u_1 q^{n-1}$ và tổng $S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$ khi $q \ne 1$.

Về hình học không gian: chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song; chứng minh vuông góc bằng định lí ba đường vuông góc; tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách và thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3} S h$. Về giải tích: tính giới hạn, xét tính liên tục, giải phương trình mũ và lôgarit, tính xác suất bằng công thức cộng và nhân, tính đạo hàm và viết phương trình tiếp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có $u_1 = 3$, $q = 2$. Tính $u_6$ và $S_6$.

Lời giải: $u_6 = 3 \cdot 2^5 = 96$. $S_6 = 3 \cdot \frac{1 - 2^6}{1 - 2} = 3 \cdot 63 = 189$.

Ví dụ 2: Tính $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$.

Lời giải: Với $x \ne 1$, $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$, suy ra giới hạn bằng $2$.

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của $f(x) = 2x^3 - \sin x$.

Lời giải: $f'(x) = 6x^2 - \cos x$.

3. Ghi nhớ

• Hệ thống lại từng chương bằng sơ đồ tóm tắt trước khi làm bài tập tổng hợp.
• Làm bài tập tổng hợp theo chủ đề: mỗi dạng ít nhất vài bài để rèn kĩ năng.
• Khi làm bài kiểm tra cuối năm, phân bổ thời gian hợp lí: làm chắc các câu cơ bản trước, rồi mới xử lí câu khó.