Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1. Kiến thức trọng tâm

Góc lượng giác là góc được tạo bởi một tia quay quanh gốc $O$, bắt đầu từ tia $Ox$ và quay theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) hoặc chiều âm (cùng chiều kim đồng hồ). Mỗi góc lượng giác có số đo duy nhất theo rađian hoặc độ, với $1$ rad là góc ở tâm chắn cung có độ dài bằng bán kính.

Trên đường tròn lượng giác (bán kính $1$, tâm $O$), điểm cuối $M$ của góc lượng giác $\alpha$ xác định các giá trị: $\sin\alpha = y_M$, $\cos\alpha = x_M$, $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (khi $\cos\alpha \ne 0$), $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ (khi $\sin\alpha \ne 0$).

Các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt cần nhớ: $\sin 0 = 0$, $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, $\cos 0 = 1$, $\cos\frac{\pi}{2} = 0$. Các giá trị này tuần hoàn theo chu kì $2\pi$ đối với $\sin$ và $\cos$, chu kì $\pi$ đối với $\tan$ và $\cot$.

Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào góc phần tư chứa điểm $M$: góc phần tư thứ nhất thì $\sin$ và $\cos$ đều dương; góc phần tư thứ hai thì $\sin$ dương, $\cos$ âm; góc phần tư thứ ba thì cả hai đều âm; góc phần tư thứ tư thì $\sin$ âm, $\cos$ dương.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Tính $\sin\frac{5\pi}{6}$ và $\cos\frac{5\pi}{6}$.

Lời giải. Góc $\frac{5\pi}{6}$ nằm ở góc phần tư thứ hai. Ta có $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$, nên $\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ và $\cos\frac{5\pi}{6} = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ví dụ. Tìm dấu của $\tan 200^\circ$.

Lời giải. Góc $200^\circ$ nằm ở góc phần tư thứ ba, nơi $\sin$ và $\cos$ đều âm, nên \tan 200^\circ = \frac{\sin 200^\circ}{\cos 200^\circ} > 0.

3. Ghi nhớ

• $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ với mọi góc $\alpha$.
• $\tan\alpha$ và $\cot\alpha$ là nghịch đảo của nhau khi cả hai đều xác định.
• Khi đổi từ độ sang rađian, dùng công thức: $\alpha \text{ rad} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180}$.
• Nên xác định góc phần tư trước khi xét dấu của các giá trị lượng giác.