Bài tập cuối chương 1

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 1 bao quát hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. Cần nắm vững giá trị lượng giác của góc lượng giác: trên đường tròn lượng giác, với điểm $M$ ứng với góc $\alpha$, ta có $\sin\alpha$ là tung độ và $\cos\alpha$ là hoành độ của $M$. Từ đó suy ra $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ và $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ khi mẫu khác $0$. Hệ thức cơ bản $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ là chìa khóa để biến đổi nhiều biểu thức.

Các công thức lượng giác quan trọng gồm công thức cộng: $\sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b$, $\cos(a \pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b$; công thức nhân đôi: $\sin 2a = 2\sin a\cos a$, $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$; công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng. Hàm số $y = \sin x$, $y = \cos x$ có tập xác định $\mathbb{R}$, tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$, giá trị trong đoạn $[-1; 1]$. Hàm $y = \tan x$ xác định khi $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, tuần hoàn với chu kỳ $\pi$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính $\sin 75^\circ$ biết $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Lời giải: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ nên $\sin 75^\circ = \sin 45^\circ\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Ví dụ 2: Giải phương trình $\sin 2x = \frac{1}{2}$.

Lời giải: $\sin 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $2x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$, suy ra $x = \frac{\pi}{12} + k\pi$ hoặc $x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.

3. Ghi nhớ

• Luôn xác định đúng điều kiện xác định của $\tan x$, $\cot x$ trước khi biến đổi.
• Nhớ công thức nghiệm của phương trình $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$.
• Khi giải phương trình lượng giác, đặt điều kiện và kiểm tra nghiệm, tránh nhận nghiệm ngoại lai.