Bài 2: Công thức lượng giác

1. Kiến thức trọng tâm

Công thức cộng là công thức nền tảng của lượng giác: $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$, $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$, $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$, $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$.

Từ công thức cộng suy ra công thức nhân đôi: $\sin 2a = 2\sin a \cos a$, $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$.

Công thức biến đổi tích thành tổng: $\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a + b) + \cos(a - b)]$, $\sin a \sin b = \frac{1}{2}[\cos(a - b) - \cos(a + b)]$, $\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a + b) + \sin(a - b)]$.

Công thức biến đổi tổng thành tích: $\sin a + \sin b = 2\sin\frac{a + b}{2}\cos\frac{a - b}{2}$, $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a + b}{2}\cos\frac{a - b}{2}$, $\cos a - \cos b = -2\sin\frac{a + b}{2}\sin\frac{a - b}{2}$.

Các công thức này giúp rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức và giải phương trình lượng giác.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Tính $\sin 75^\circ$.

Lời giải. Ta viết $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$, nên $\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Ví dụ. Chứng minh $\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a$.

Lời giải. Từ $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a$ và $\cos^2 a = 1 - \sin^2 a$, ta được $\cos 2a = 1 - \sin^2 a - \sin^2 a = 1 - 2\sin^2 a$.

3. Ghi nhớ

• Nhớ công thức cộng cho $\sin$ và $\cos$ trước, các công thức còn lại đều suy ra từ đó.
• Công thức nhân đôi thường dùng để hạ bậc: $\sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2}$, $\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$.
• Khi biến đổi tổng thành tích, đặt $u = \frac{a + b}{2}$, $v = \frac{a - b}{2}$ để tránh nhầm lẫn.
• Kiểm tra điều kiện xác định của $\tan$ và $\cot$ trước khi dùng công thức chứa chúng.