Bài tập cuối chương 2

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 2 nghiên cứu dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Dãy số $(u_n)$ là một hàm số xác định trên tập các số nguyên dương. Dãy số có thể cho bằng công thức số hạng tổng quát, bằng công thức truy hồi, hoặc bằng mô tả. Dãy số tăng khi u_{n+1} > u_n với mọi $n$; dãy số giảm khi u_{n+1} < u_n. Dãy số bị chặn trên nếu tồn tại $M$ sao cho $u_n \le M$ với mọi $n$; bị chặn dưới nếu tồn tại $m$ sao cho $u_n \ge m$.

Cấp số cộng là dãy số mà hiệu giữa hai số hạng liên tiếp không đổi: $u_{n+1} = u_n + d$, trong đó $d$ là công sai. Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 + (n-1)d$. Tổng $n$ số hạng đầu: $S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}$.

Cấp số nhân là dãy số mà tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp không đổi: $u_{n+1} = u_n \cdot q$, trong đó $q$ là công bội. Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$. Tổng $n$ số hạng đầu với $q \ne 1$: $S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$; với $q = 1$ thì $S_n = n u_1$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có $u_1 = 3$, $d = 4$. Tính $u_{10}$ và $S_{10}$.

Lời giải: $u_{10} = u_1 + 9d = 3 + 36 = 39$. $S_{10} = \frac{10(3 + 39)}{2} = 210$.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có $u_1 = 2$, $q = 3$. Tính $u_5$ và $S_5$.

Lời giải: $u_5 = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$. $S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 242$.

3. Ghi nhớ

• Phân biệt rõ công sai $d$ của cấp số cộng và công bội $q$ của cấp số nhân.
• Công thức tổng $S_n$ của cấp số nhân chỉ dùng khi $q \ne 1$; nhớ xét riêng trường hợp $q = 1$.
• Khi chứng minh một dãy là cấp số cộng hay cấp số nhân, phải kiểm tra tỉ số hoặc hiệu không đổi với mọi $n$.