Bài 3: Hàm số lượng giác

1. Kiến thức trọng tâm

Hàm số $y = \sin x$ xác định trên $\mathbb{R}$, có tập giá trị $[-1; 1]$, là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì $2\pi$. Đồ thị của nó là một đường hình sin đi qua gốc tọa độ, đạt giá trị lớn nhất $1$ tại $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$ và giá trị nhỏ nhất $-1$ tại $x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$.

Hàm số $y = \cos x$ xác định trên $\mathbb{R}$, có tập giá trị $[-1; 1]$, là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì $2\pi$. Đồ thị của nó là đường hình sin đạt giá trị lớn nhất $1$ tại $x = k2\pi$ và giá trị nhỏ nhất $-1$ tại $x = \pi + k2\pi$.

Hàm số $y = \tan x$ xác định khi $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, có tập giá trị $\mathbb{R}$, là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì $\pi$. Đồ thị của nó có các đường tiệm cận đứng $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Trên khoảng $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, hàm số $y = \sin x$ đồng biến; trên khoảng $(0; \pi)$, hàm số $y = \cos x$ nghịch biến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Tìm tập xác định của hàm số $y = \tan\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Lời giải. Hàm số xác định khi $\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \ne 0$, tức $x \ne \frac{3\pi}{4} + k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất của $y = 2\sin x + 1$.

Lời giải. Vì $-1 \le \sin x \le 1$ nên $-1 \le 2\sin x + 1 \le 3$. Giá trị lớn nhất là $3$, đạt được khi $\sin x = 1$, tức $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$.

3. Ghi nhớ

• Tính chẵn, lẻ giúp vẽ đồ thị nhanh: đồ thị hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ, đồ thị hàm chẵn đối xứng qua trục tung.
• Chu kì của hàm $\sin$ và $\cos$ là $2\pi$; của hàm $\tan$ và $\cot$ là $\pi$.
• Khi tìm tập xác định, chú ý mẫu số khác $0$ đối với $\tan$ và $\cot$.