Bài tập cuối chương 3

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 3 trình bày các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm: số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt. Với mẫu số liệu ghép nhóm gồm $k$ nhóm $[a_i; a_{i+1})$ có tần số $n_i$ và giá trị đại diện $x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}$, cỡ mẫu $N = n_1 + n_2 + \cdots + n_k$, số trung bình là $\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_k x_k}{N}$.

Trung vị $M_e$ là giá trị chia mẫu số liệu thành hai phần có số phần tử bằng nhau. Với mẫu ghép nhóm, giả sử nhóm chứa trung vị là $[a_m; a_{m+1})$ với tần số $n_m$ và tần số tích lũy trước nhóm đó là $C_{m-1}$, ta có $M_e = a_m + \frac{\frac{N}{2} - C_{m-1}}{n_m} \cdot (a_{m+1} - a_m)$.

Tứ phân vị gồm $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ chia mẫu số liệu thành bốn phần bằng nhau, trong đó $Q_2$ chính là trung vị. Mốt $M_o$ là giá trị xuất hiện nhiều nhất; với mẫu ghép nhóm, mốt được tính từ nhóm có tần số lớn nhất theo công thức $M_o = a_m + \frac{n_m - n_{m-1}}{2n_m - n_{m-1} - n_{m+1}} \cdot h$, trong đó $h$ là độ dài nhóm.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Mẫu số liệu về thời gian chạy (giây) của 20 học sinh được ghép thành 4 nhóm: $[9; 10)$ có 4 học sinh, $[10; 11)$ có 7 học sinh, $[11; 12)$ có 6 học sinh, $[12; 13)$ có 3 học sinh. Tính số trung bình.

Lời giải: Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là $9,5$; $10,5$; $11,5$; $12,5$. Số trung bình $\bar{x} = \frac{4 \cdot 9,5 + 7 \cdot 10,5 + 6 \cdot 11,5 + 3 \cdot 12,5}{20} = \frac{38 + 73,5 + 69 + 37,5}{20} = \frac{218}{20} = 10,9$.

3. Ghi nhớ

• Luôn tính giá trị đại diện $x_i$ là trung bình cộng hai đầu mút của nhóm.
• Khi tìm nhóm chứa trung vị, dùng tần số tích lũy và vị trí $\frac{N}{2}$.
• Số trung bình nhạy cảm với giá trị bất thường, còn trung vị và mốt ổn định hơn.