Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

1. Kiến thức trọng tâm

Phương trình $\sin x = a$ có nghiệm khi $|a| \le 1$. Đặt $\alpha$ là một số thỏa mãn $\sin\alpha = a$, nghiệm của phương trình là $x = \alpha + k2\pi$ hoặc $x = \pi - \alpha + k2\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Phương trình $\cos x = a$ có nghiệm khi $|a| \le 1$. Đặt $\alpha$ là một số thỏa mãn $\cos\alpha = a$, nghiệm là $x = \alpha + k2\pi$ hoặc $x = -\alpha + k2\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Phương trình $\tan x = a$ luôn có nghiệm với mọi $a \in \mathbb{R}$. Đặt $\alpha$ thỏa mãn $\tan\alpha = a$, nghiệm là $x = \alpha + k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Phương trình $\cot x = a$ luôn có nghiệm với mọi $a \in \mathbb{R}$. Đặt $\alpha$ thỏa mãn $\cot\alpha = a$, nghiệm là $x = \alpha + k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Các trường hợp đặc biệt thường gặp: $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$; $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$; $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$; $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi$; $\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Giải phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$.

Lời giải. Vì $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ nên nghiệm là $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Ví dụ. Giải phương trình $2\cos x - \sqrt{3} = 0$ trên đoạn $[0; 2\pi]$.

Lời giải. Phương trình tương đương $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, nên $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi$. Trên $[0; 2\pi]$ ta được $x = \frac{\pi}{6}$ và $x = \frac{11\pi}{6}$.

3. Ghi nhớ

• Luôn kiểm tra điều kiện $|a| \le 1$ trước khi giải phương trình $\sin x = a$ và $\cos x = a$.
• Nhớ thêm $k2\pi$ (với $\sin$, $\cos$) và $k\pi$ (với $\tan$, $\cot$) vào nghiệm.
• Khi tìm nghiệm trên một khoảng, liệt kê các giá trị của $k$ rồi loại bỏ nghiệm ngoài khoảng.