Bài tập ôn Toán lớp 11 – HK2 (Giữa kỳ)

Phạm vi: Bài 15–27 (Giới hạn, Hàm số liên tục, Lũy thừa, Lôgarit, Mũ – Lôgarit, Quan hệ vuông góc, Khoảng cách, Thể tích).

---

Phần 1: Cơ bản

Bài 1. Tính $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}$.

Bài 2. Tính $\log_3 27$.

Bài 3. Giải phương trình $2^{x-1} = 8$.

Bài 4. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc nào?

Bài 5. Tính thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước $2, 3, 4$.

Bài 6. Tính thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng $10$ và chiều cao bằng $3$.

Bài 7. Tính $\lim \dfrac{n^2+2}{2n^2-1}$.

Bài 8. Tính $8^{\frac{2}{3}}$.

Bài 9. Giải bất phương trình \log_2 x > 2.

Bài 10. Cho hai đường thẳng $a, b$ chéo nhau. Mệnh đề "$a$ và $b$ không có điểm chung" đúng hay sai?

Bài 11. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(P)$ được tính bằng độ dài đoạn thẳng nào?

Bài 12. Tính $\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}$.

Bài 13. Giải phương trình $\log_2(2x+1) = 3$.

Bài 14. Tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $8$ và chiều cao bằng $5$.

Bài 15. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ và tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Chứng minh $BC \perp (SAB)$.

Bài 16. Tính $\log_5 25 + \log_5 \dfrac{1}{5}$.

Phần 2: Nâng cao

Bài 17. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a\sqrt{2}$. Tính thể tích khối chóp.

Bài 18. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $SA = 4$, tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB = 3$, $AC = 4$, $BC = 5$. Tính thể tích khối chóp.

Bài 19. Tính $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3-8}{x-2}$.

Bài 20. Giải phương trình $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$.

Bài 21. Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ trong Bài 17.

Bài 22. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ trong Bài 18.

Bài 23. Giải bất phương trình $2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 \le 0$.

Bài 24. Tính $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{4x^2+1} - 2x\right)$.

---

Đáp án

1. $2$
2. $3$
3. $x = 4$ (vì $x - 1 = 3$)
4. Góc $SBA$ (vì $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$)
5. $24$
6. $10$ (vì $V = \dfrac{1}{3} \cdot 10 \cdot 3$)
7. $\dfrac{1}{2}$
8. $4$ (vì $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2$)
9. x > 4
10. Đúng
11. Đoạn vuông góc hạ từ $A$ xuống $(P)$
12. $\dfrac{1}{2}$ (vì $1 - \cos x = 2\sin^2 \dfrac{x}{2}$)
13. $x = \dfrac{7}{2}$ (vì $2x + 1 = 8$)
14. $40$
15. $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp BC$; tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AB \perp BC$. Vậy $BC \perp (SAB)$
16. $1$ (vì $2 + (-1) = 1$)
17. $V = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a\sqrt{2} = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{3}$
18. $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$; $V = \dfrac{1}{3} \cdot 6 \cdot 4 = 8$
19. $12$ (phân tích tử: $(x-2)(x^2+2x+4)$)
20. Đặt t = 3^x > 0: $t^2 - 4t + 3 = 0$, $t = 1$ hoặc $t = 3$. Vậy $x = 0$ hoặc $x = 1$
21. $45^\circ$ (vì $\tan \widehat{SCA} = \dfrac{SA}{AC} = \dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$)
22. $\dfrac{6\sqrt{34}}{17}$ (dùng hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $C(0;4;0)$, $S(0;0;4)$; mặt phẳng $(SBC)$: $4x + 3y + 3z - 12 = 0$; $d = \dfrac{12}{\sqrt{34}}$)
23. Đặt t = 2^x > 0: $1 \le t \le 2$, suy ra $0 \le x \le 1$
24. $0$ (nhân liên hợp: $\dfrac{1}{\sqrt{4x^2+1}+2x}$)