Bài tập — Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số? A. Đơn điệu: xét dấu $f'$ trên từng khoảng xác định. B. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. B. Cực trị chỉ có thể xảy ra tại điểm $f' = 0$ hoặc $f'$ không xác định. C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. C. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$ . D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. C. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục. D. Việc xét dấu của đạo hàm là công cụ chính để tìm khoảng đơn điệu.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Xét hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ . Ta có $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ , nên $y' = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 2$ . Bảng biến thiên: $y' > 0$ trên $(-\infty; 0)$ , $y' < 0$ trên $(0; 2)$ , $y' > 0$ trên $(2; +\infty)$ . Do đó hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$ , nghịch biến trên $(0; 2)$ .

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Tại $x = 0$ , $f'$ đổi dấu $+ \to -$ nên hàm số đạt cực đại, $y_{CĐ} = 2$ . Tại $x = 2$ , $f'$ đổi dấu $- \to +$ nên hàm số đạt cực tiểu, $y_{CT} = -2$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Cho hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ . Tính $y'$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Cho hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ . Hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng nào?

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Cho hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 1$ . Tìm các điểm cực trị của hàm số.

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-A, 2-B, 3-C, 4-D.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (A): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Đơn điệu: xét dấu $f'$ trên từng khoảng xác định."
- Câu 2 (B): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Cực trị chỉ có thể xảy ra tại điểm $f' = 0$ hoặc $f'$ không xác định."
- Câu 3 (C): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$ ."
- Câu 4 (D): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Việc xét dấu của đạo hàm là công cụ chính để tìm khoảng đơn điệu."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$ . Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x \in K$ thì $f$ đồng biến trên $K$ ; nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x \in K$ thì $f$ nghịch biến trên $K$ .
- Tổng kết ghi nhớ: Đơn điệu: xét dấu $f'$ trên từng khoảng xác định.; Cực trị chỉ có thể xảy ra tại điểm $f' = 0$ hoặc $f'$ không xác định.; Dấu hiệu: $f'$ đổi dấu $+ \to -$ cho cực đại, $- \to +$ cho cực tiểu.
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Xét hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ . Ta có $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ , nên $y' = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 2$ . Bảng biến thiên: $y' > 0$ trên $(-\infty; 0)$ , $y' < 0$ trên $(0; 2)$ , $y' > 0$ trên $(2; +\infty)$ . Do đó hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$ , nghịch biến trên $(0; 2)$ .
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số (Đơn điệu: xét dấu $f'$ trên từng khoảng xác định.; Cực trị chỉ có thể xảy ra tại điểm $f' = 0$ hoặc $f'$ không xác định.; Dấu hiệu: $f'$ đổi dấu $+ \to -$ cho cực đại, $- \to +$ cho cực tiểu.).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Tại $x = 0$ , $f'$ đổi dấu $+ \to -$ nên hàm số đạt cực đại, $y_{CĐ} = 2$ . Tại $x = 2$ , $f'$ đổi dấu $- \to +$ nên hàm số đạt cực tiểu, $y_{CT} = -2$ .
Bài 4: $y' = 3x^2 - 3$ .
Bài 5: Đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$ ; nghịch biến trên $(-1; 1)$ .
Bài 6: Cực đại $(0; 1)$ ; cực tiểu $(\pm 1; 0)$ .

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số? A. Đơn điệu: xét dấu

f'

trên từng khoảng xác định. B. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

f' = 0

hoặc

f'

không xác định. C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

y = f(x)

có đạo hàm trên khoảng

K

. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Xét hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ . Ta có $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ , nên $y' = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 2$ . Bảng biến thiên: $y' > 0$ trên $(-\infty; 0)$ , $y' < 0$ trên $(0; 2)$ , $y' > 0$ trên $(2; +\infty)$ . Do đó hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$ , nghịch biến trên $(0; 2)$ .

Tại $x = 0$ , $f'$ đổi dấu $+ \to -$ nên hàm số đạt cực đại, $y_{CĐ} = 2$ . Tại $x = 2$ , $f'$ đổi dấu $- \to +$ nên hàm số đạt cực tiểu, $y_{CT} = -2$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Cho hàm số

y = x^3 - 3x + 1

. Tính

y'

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Cho hàm số

y = x^3 - 3x + 1

. Hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng nào?

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Cho hàm số

y = x^4 - 2x^2 + 1

. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-A, 2-B, 3-C, 4-D.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (A): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Đơn điệu: xét dấu $f'$ trên từng khoảng xác định."
Câu 2 (B): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Cực trị chỉ có thể xảy ra tại điểm $f' = 0$ hoặc $f'$ không xác định."
Câu 3 (C): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$ ."
Câu 4 (D): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Việc xét dấu của đạo hàm là công cụ chính để tìm khoảng đơn điệu."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$ . Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x \in K$ thì $f$ đồng biến trên $K$ ; nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x \in K$ thì $f$ nghịch biến trên $K$ .
Tổng kết ghi nhớ: Đơn điệu: xét dấu $f'$ trên từng khoảng xác định.; Cực trị chỉ có thể xảy ra tại điểm $f' = 0$ hoặc $f'$ không xác định.; Dấu hiệu: $f'$ đổi dấu $+ \to -$ cho cực đại, $- \to +$ cho cực tiểu.

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Xét hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ . Ta có $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ , nên $y' = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 2$ . Bảng biến thiên: $y' > 0$ trên $(-\infty; 0)$ , $y' < 0$ trên $(0; 2)$ , $y' > 0$ trên $(2; +\infty)$ . Do đó hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$ , nghịch biến trên $(0; 2)$ .
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số (Đơn điệu: xét dấu $f'$ trên từng khoảng xác định.; Cực trị chỉ có thể xảy ra tại điểm $f' = 0$ hoặc $f'$ không xác định.; Dấu hiệu: $f'$ đổi dấu $+ \to -$ cho cực đại, $- \to +$ cho cực tiểu.).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Tại $x = 0$ , $f'$ đổi dấu $+ \to -$ nên hàm số đạt cực đại, $y_{CĐ} = 2$ . Tại $x = 2$ , $f'$ đổi dấu $- \to +$ nên hàm số đạt cực tiểu, $y_{CT} = -2$ .

Bài 4:

y' = 3x^2 - 3

Bài 5: Đồng biến trên

(-\infty; -1)

và

(1; +\infty)

; nghịch biến trên

(-1; 1)

Bài 6: Cực đại

(0; 1)

; cực tiểu

(\pm 1; 0)