Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

1. Kiến thức trọng tâm

Công thức xác suất toàn phần. Giả sử các biến cố $B_1, B_2, \dots, B_n$ tạo thành một hệ đầy đủ, tức là chúng đôi một xung khắc và $B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n = \Omega$, đồng thời P(B_i) > 0 với mọi $i$. Khi đó với biến cố $A$ bất kì, $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)$. Trong trường hợp $n = 2$ với $B$ và $\bar{B}$: $P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\bar{B}) \cdot P(A|\bar{B})$.

Công thức Bayes. Với hệ đầy đủ như trên và P(A) > 0, xác suất hậu nghiệm của $B_k$ khi biết $A$ đã xảy ra là $P(B_k|A) = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{P(A)}$. Công thức Bayes cho phép "cập nhật" xác suất của các nguyên nhân sau khi quan sát kết quả.

Hai công thức thường đi kèm nhau: dùng xác suất toàn phần để tính mẫu số $P(A)$, rồi dùng Bayes để tính xác suất hậu nghiệm. Các bài toán điển hình: xét nghiệm y tế, kiểm định chất lượng sản phẩm từ nhiều dây chuyền, phân loại thư rác.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một nhà máy có hai dây chuyền: dây chuyền I sản xuất $60$ sản phẩm, tỉ lệ phế phẩm $2$; dây chuyền II sản xuất $40$ sản phẩm, tỉ lệ phế phẩm $5$. Tính tỉ lệ phế phẩm chung.

Giải. $P(A) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}032 = 3{,}2$.

Ví dụ 2. Với số liệu ở ví dụ 1, biết một sản phẩm là phế phẩm, tính xác suất nó do dây chuyền I sản xuất.

Giải. $P(I|A) = \frac{0{,}6 \cdot 0{,}02}{0{,}032} = \frac{0{,}012}{0{,}032} = 0{,}375$.

Ví dụ 3. Một bệnh hiếm gặp ở $0{,}1$ dân số. Xét nghiệm có độ nhạy $99$ và độ đặc hiệu $98$. Một người xét nghiệm dương tính, xác suất người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu?

Giải. $P(+) = 0{,}001 \cdot 0{,}99 + 0{,}999 \cdot 0{,}02 = 0{,}02097$. Vậy $P(B|+) \approx 0{,}0472$, tức khoảng $4{,}7$.

3. Ghi nhớ

• Bayes "đảo ngược" điều kiện: từ $P(A|B_i)$ suy ra $P(B_k|A)$.