Bài 18: Xác suất có điều kiện

1. Kiến thức trọng tâm

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với P(B) > 0. Xác suất có điều kiện của $A$ với điều kiện $B$ đã xảy ra, kí hiệu $P(A|B)$, tính bằng $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Từ công thức trên suy ra công thức nhân xác suất: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$ (với P(A) > 0). Hai biến cố $A$ và $B$ gọi là độc lập nếu việc một biến cố xảy ra không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố còn lại, tức là $P(A|B) = P(A)$, hay $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Sơ đồ hình cây là công cụ trực quan để tính xác suất có điều kiện trong các thí nghiệm nhiều giai đoạn: mỗi nhánh ghi xác suất của biến cố ở giai đoạn đó với điều kiện các biến cố trước đã xảy ra; xác suất của một đường đi bằng tích các xác suất trên các nhánh của nó.

Một lưu ý quan trọng: $P(A|B)$ khác $P(B|A)$. Ví dụ, xác suất một người bị bệnh khi xét nghiệm dương tính khác với xác suất xét nghiệm dương tính khi người đó bị bệnh.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc cân đối. Biết số chấm là số chẵn, tính xác suất số chấm là $6$.

Giải. Gọi $B$ là biến cố "số chấm chẵn", $A$ là biến cố "số chấm bằng $6$". $P(B) = \frac{1}{2}$; $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$. Vậy $P(A|B) = \frac{1}{3}$.

Ví dụ 2. Một hộp có $4$ bi đỏ và $6$ bi xanh. Lấy lần lượt $2$ bi không hoàn lại. Tính xác suất bi thứ hai đỏ, biết bi thứ nhất đỏ.

Giải. Sau khi lấy bi thứ nhất đỏ, hộp còn $3$ bi đỏ và $6$ bi xanh, tổng $9$ bi. Xác suất cần tìm là $\frac{1}{3}$.

Ví dụ 3. Hai xạ thủ $A$ và $B$ độc lập bắn một phát, xác suất trúng lần lượt là $0{,}8$ và $0{,}7$. Tính xác suất cả hai đều trúng.

Giải. Do độc lập, $P = 0{,}8 \cdot 0{,}7 = 0{,}56$.

3. Ghi nhớ

• "Biết rằng $B$ đã xảy ra" nghĩa là không gian mẫu thu hẹp lại thành $B$.