Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R > 0 là tập hợp các điểm M(x;y;z) thỏa IM=R. Bình phương hai vế ta được phương trình chính tắc: (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2.
Khai triển phương trình chính tắc, ta được phương trình tổng quát: x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0, trong đó d=a2+b2+c2−R2. Ngược lại, phương trình dạng này là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi a^2 + b^2 + c^2 - d > 0; khi đó tâm là I(a;b;c) và bán kính R=a2+b2+c2−d.
Vị trí tương đối với mặt phẳng: cho khoảng cách h=d(I,(α)). Nếu h > R, mặt phẳng không cắt mặt cầu; nếu h=R, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu; nếu h < R, mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn bán kính r=R2−h2.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Viết phương trình mặt cầu tâm I(1;−2;3), bán kính R=2.
Giải.(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=4.
Ví dụ 2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu x2+y2+z2−4x+2y−6z+5=0.
Giải. So sánh dạng tổng quát: a=2, b=−1, c=3, d=5. Tâm I(2;−1;3) và R=4+1+9−5=3.
Ví dụ 3. Mặt phẳng z=5 cắt mặt cầu (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=25 theo đường tròn bán kính bao nhiêu?
Giải. Tâm I(1;−2;3), R=5; h = 2 < 5. Bán kính đường tròn giao tuyến: r=25−4=21.
3. Ghi nhớ
Điều kiện có mặt cầu: a^2 + b^2 + c^2 - d > 0; nếu bằng 0 chỉ còn một điểm, nếu âm thì không có điểm nào.
