Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

1. Kiến thức trọng tâm

Góc trong không gian được xác định qua góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc pháp tuyến, và luôn lấy giá trị từ $0^\circ$ đến $90^\circ$ (trừ góc giữa hai vectơ có thể đến $180^\circ$).

Góc giữa hai đường thẳng. Nếu hai đường thẳng có vectơ chỉ phương là $\vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$, góc $\varphi$ giữa chúng thỏa $\cos \varphi = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|}$, với $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$. Dấu giá trị tuyệt đối đảm bảo góc lấy giá trị nhọn.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Cho đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ và mặt phẳng $(\alpha)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$. Góc $\varphi$ giữa $d$ và $(\alpha)$ thỏa $\sin \varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$, với $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$. Nếu $d$ song song hoặc nằm trong $(\alpha)$ thì $\varphi = 0^\circ$; nếu $d$ vuông góc với $(\alpha)$ thì $\varphi = 90^\circ$.

Góc giữa hai mặt phẳng. Cho hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1$, $\vec{n}_2$. Góc $\varphi$ giữa chúng thỏa $\cos \varphi = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$, với $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính góc giữa hai đường thẳng có $\vec{u}_1 = (1; 0; 1)$ và $\vec{u}_2 = (0; 1; 1)$.

Giải. $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 1$; $|\vec{u}_1| = |\vec{u}_2| = \sqrt{2}$. Do đó $\cos \varphi = \frac{1}{2}$, suy ra $\varphi = 60^\circ$.

Ví dụ 2. Tính góc giữa đường thẳng $d$ có $\vec{u} = (1; 1; 0)$ và mặt phẳng $(\alpha)$: $x + y + z = 0$.

Giải. $\vec{n} = (1; 1; 1)$; $\vec{u} \cdot \vec{n} = 2$; $|\vec{u}| = \sqrt{2}$, $|\vec{n}| = \sqrt{3}$. Vậy $\sin \varphi = \frac{2}{\sqrt{6}}$, suy ra $\varphi \approx 54^\circ 44'$.

Ví dụ 3. Tính góc giữa $(P)$: $x + 2y - z = 0$ và $(Q)$: $x - y + z = 0$.

Giải. $|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2| = 2$; $|\vec{n}_1| = \sqrt{6}$, $|\vec{n}_2| = \sqrt{3}$.

3. Ghi nhớ

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng $\sin$; hai góc còn lại dùng $\cos$.
• Luôn lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng để góc không vượt quá $90^\circ$.
• Đường thẳng vuông góc mặt phẳng khi $\vec{u}$ cùng phương với $\vec{n}$.