Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

1. Kiến thức trọng tâm

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d$ được xác định khi biết một điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ thuộc $d$ và một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c) \ne \vec{0}$ có giá song song hoặc trùng với $d$.

Phương trình tham số của $d$: $\begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \ z = z_0 + ct \end{cases}$ với $t \in \mathbb{R}$. Nếu $a, b, c$ đều khác $0$, ta có phương trình chính tắc: $\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$. Hai đường thẳng song song có vectơ chỉ phương cùng phương; hai đường thẳng vuông góc có $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0$.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng: xét hệ phương trình giao điểm và vectơ chỉ phương. Hai đường thẳng có thể song song, trùng nhau, cắt nhau hoặc chéo nhau. Đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ khi $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ và $M_0 \notin (\alpha)$; $d$ vuông góc với $(\alpha)$ khi $\vec{u}$ cùng phương với $\vec{n}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua $A(1; 0; 2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; -1; 3)$.

Giải. $\begin{cases} x = 1 + 2t \ y = -t \ z = 2 + 3t \end{cases}$ ($t \in \mathbb{R}$).

Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua $A(1; 2; 3)$ và $B(3; 0; -1)$.

Giải. $\overrightarrow{AB} = (2; -2; -4)$, chọn $\vec{u} = (1; -1; -2)$. Phương trình chính tắc: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{-2}$.

Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối của $d$: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3}$ với $(\alpha)$: $x + y - z + 1 = 0$.

Giải. $\vec{u} \cdot \vec{n} = 2 + 1 - 3 = 0$ nên $d$ song song hoặc nằm trong $(\alpha)$.

3. Ghi nhớ

• Vectơ chỉ phương có thể nhân với số khác $0$; phương trình tham số có nhiều cách viết.
• Muốn xét vị trí tương đối, luôn kiểm tra cả vectơ chỉ phương lẫn điểm cụ thể.
• Đường thẳng qua hai điểm: vectơ chỉ phương là vectơ nối hai điểm đó.