Bài 14: Phương trình mặt phẳng

1. Kiến thức trọng tâm

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha)$ được xác định khi biết một điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C) \ne \vec{0}$ vuông góc với mặt phẳng. Điểm $M(x; y; z)$ thuộc $(\alpha)$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{M_0M} \cdot \vec{n} = 0$.

Phương trình tổng quát: $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó $A, B, C$ không đồng thời bằng $0$ và $D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$. Mặt phẳng qua gốc tọa độ khi $D = 0$; mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$, $(Oyz)$ có $x = 0$, $(Oxz)$ có $y = 0$.

Phương trình theo đoạn chắn: mặt phẳng cắt các trục $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại $(a; 0; 0)$, $(0; b; 0)$, $(0; 0; c)$ với $a, b, c \ne 0$ có phương trình $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

Hai mặt phẳng song song khi hai vectơ pháp tuyến cùng phương và $D$ không thỏa mãn tỉ lệ tương ứng; hai mặt phẳng vuông góc khi $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$. Khoảng cách từ $M_1(x_1; y_1; z_1)$ đến $(\alpha)$ là $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng qua $M_0(1; 2; -1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; -1; 3)$.

Giải. $2(x - 1) - (y - 2) + 3(z + 1) = 0$, tức $2x - y + 3z + 3 = 0$.

Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm $A(1; 0; 0)$, $B(0; 2; 0)$, $C(0; 0; 3)$.

Giải. Dùng phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$, tức $6x + 3y + 2z - 6 = 0$.

Ví dụ 3. Tính khoảng cách từ $M(1; 1; 1)$ đến mặt phẳng $2x - y + 3z + 3 = 0$.

Giải. $d = \frac{|2 - 1 + 3 + 3|}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

3. Ghi nhớ

• Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng: lấy $\vec{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]$.
• Kiểm tra điểm thuộc mặt phẳng bằng cách thay tọa độ vào phương trình.