Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

1. Kiến thức trọng tâm

Tích phân cho phép tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay.

Diện tích hình phẳng. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$ liên tục, trục $Ox$ và hai đường $x = a$, $x = b$ (a < b) có diện tích $S = \int_a^b |f(x)|,dx$. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = f(x)$, $y = g(x)$ và hai đường $x = a$, $x = b$ có diện tích $S = \int_a^b |f(x) - g(x)|,dx$. Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta xét dấu trên $[a; b]$ bằng cách giải $f(x) = 0$ hoặc $f(x) = g(x)$ để tìm giao điểm.

Thể tích vật thể tròn xoay. Vật thể tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x) \ge 0$, trục $Ox$ và hai đường $x = a$, $x = b$ quanh trục $Ox$ có thể tích $V = \pi \int_a^b f^2(x),dx$. Nếu quay quanh trục $Oy$ hình phẳng giới hạn bởi $x = g(y) \ge 0$, trục $Oy$ và hai đường $y = c$, $y = d$, thể tích là $V = \pi \int_c^d g^2(y),dy$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, trục $Ox$ và $x = 0$, $x = 2$.

Giải. Trên $[0; 2]$, $x^2 \ge 0$ nên $S = \int_0^2 x^2,dx = \frac{8}{3}$.

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.

Giải. Giao điểm: $x^2 = x \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$. Trên $[0; 1]$, $x \ge x^2$ nên $S = \int_0^1 (x - x^2),dx = \frac{1}{6}$.

Ví dụ 3. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}$, trục $Ox$, $x = 0$, $x = 4$ quanh trục $Ox$.

Giải. $V = \pi \int_0^4 x,dx = 8\pi$.

3. Ghi nhớ

• Diện tích dùng $|f(x)|$; thể tích tròn xoay dùng $\pi f^2(x)$ — đừng nhầm hai công thức.
• Luôn tìm giao điểm trước khi viết cận tích phân.
• Thể tích có đơn vị khối (đvtt), diện tích có đơn vị vuông (đvdt).