Bài 12: Tích phân

1. Kiến thức trọng tâm

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Tích phân từ $a$ đến $b$ của $f(x)$ là $\int_a^b f(x),dx = F(b) - F(a)$, gọi là công thức Newton – Leibniz. Số $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên.

Các tính chất: $\int_a^a f(x),dx = 0$; $\int_a^b f(x),dx = -\int_b^a f(x),dx$; $\int_a^b [f(x) \pm g(x)],dx = \int_a^b f(x),dx \pm \int_a^b g(x),dx$; $\int_a^b k f(x),dx = k\int_a^b f(x),dx$; $\int_a^b f(x),dx = \int_a^c f(x),dx + \int_c^b f(x),dx$ với $c \in [a; b]$. Nếu $f(x) \ge 0$ trên $[a; b]$ thì $\int_a^b f(x),dx$ bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục $Ox$ và hai đường $x = a$, $x = b$.

Hai phương pháp tính thường dùng là đổi biến số và tích phân từng phần: $\int_a^b u,dv = [uv]_a^b - \int_a^b v,du$. Khi đổi biến $t = \varphi(x)$, cần đổi cả cận: $x = a \Rightarrow t = \varphi(a)$, $x = b \Rightarrow t = \varphi(b)$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính $\int_0^1 (2x + 1),dx$.

Giải. Nguyên hàm của $2x + 1$ là $x^2 + x$. Vậy $\int_0^1 (2x + 1),dx = [x^2 + x]_0^1 = 2$.

Ví dụ 2. Tính $\int_0^{\pi} \sin x,dx$.

Giải. $\int_0^{\pi} \sin x,dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -\cos \pi + \cos 0 = 2$.

Ví dụ 3. Tính $\int_0^1 x e^{x^2},dx$ bằng đổi biến.

Giải. Đặt $t = x^2$, $dt = 2x,dx$; $x = 0 \Rightarrow t = 0$, $x = 1 \Rightarrow t = 1$. Khi đó $\int_0^1 x e^{x^2},dx = \frac{1}{2}\int_0^1 e^{t},dt = \frac{1}{2}(e - 1)$.

3. Ghi nhớ

• Tích phân xác định là một số, không còn hằng số $C$.
• Khi đổi biến phải đổi cận; khi từng phần, nhớ đánh giá $[uv]_a^b$.
• Tích phân của hàm âm có thể âm — đó là giá trị đại số, khác diện tích hình phẳng.