Bài 11: Nguyên hàm

1. Kiến thức trọng tâm

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $K$. Hàm số $F(x)$ gọi là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$. Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm thì $F(x) + C$ (với $C$ là hằng số tùy ý) cũng là nguyên hàm, và mọi nguyên hàm đều có dạng đó. Họ tất cả các nguyên hàm kí hiệu là $\int f(x),dx = F(x) + C$.

Một số nguyên hàm cơ bản: $\int 1,dx = x + C$; $\int x^{\alpha},dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$ ($\alpha \ne -1$); $\int \frac{1}{x},dx = \ln|x| + C$; $\int e^{x},dx = e^{x} + C$; $\int a^{x},dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$ (a > 0, a \ne 1); $\int \cos x,dx = \sin x + C$; $\int \sin x,dx = -\cos x + C$; $\int \frac{1}{\cos^2 x},dx = \tan x + C$; $\int \frac{1}{\sin^2 x},dx = -\cot x + C$.

Các tính chất: $\int k f(x),dx = k\int f(x),dx$; $\int [f(x) \pm g(x)],dx = \int f(x),dx \pm \int g(x),dx$. Hai phương pháp thường dùng là đổi biến số và nguyên hàm từng phần: $\int u,dv = uv - \int v,du$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm $\int (3x^2 + 2x - 1),dx$.

Giải. $\int (3x^2 + 2x - 1),dx = x^3 + x^2 - x + C$.

Ví dụ 2. Tính $\int x e^{x},dx$ bằng nguyên hàm từng phần.

Giải. Đặt $u = x$, $dv = e^{x},dx$, suy ra $du = dx$, $v = e^{x}$. Do đó $\int x e^{x},dx = x e^{x} - \int e^{x},dx = e^{x}(x - 1) + C$.

Ví dụ 3. Tính $\int \frac{1}{2x + 1},dx$.

Giải. Đặt $t = 2x + 1$, $dt = 2,dx$, nên $\int \frac{1}{2x + 1},dx = \frac{1}{2}\ln|2x + 1| + C$.

3. Ghi nhớ

• Nguyên hàm không duy nhất: luôn kèm hằng số $C$.
• Kiểm tra kết quả bằng cách đạo hàm lại: $(F(x) + C)'$ phải bằng $f(x)$.
• Khi đổi biến, nhớ đổi cả vi phân $dx$; khi từng phần, chọn $u$ theo thứ tự: lôgarit, đa thức, lượng giác, mũ.