Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn

1. Kiến thức trọng tâm

Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của các số liệu quanh giá trị trung bình. Với mẫu số liệu $x_1, x_2, \dots, x_n$ có số trung bình $\bar{x}$, phương sai là $s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$. Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: $s = \sqrt{s^2}$.

Phương sai càng lớn thì các số liệu càng phân tán xa giá trị trung bình; phương sai càng nhỏ thì dữ liệu càng tập trung. Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với số liệu gốc nên dễ diễn giải hơn phương sai. Trong thực tế, người ta thường so sánh độ lệch chuẩn của các mẫu để đánh giá độ ổn định, chẳng hạn độ ổn định của điểm thi, của sản phẩm, của lợi nhuận.

Với mẫu số liệu ghép nhóm, ta dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung điểm của khoảng) để tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn theo công thức có trọng số là tần số của nhóm. Khi so sánh hai mẫu có cùng đơn vị, mẫu có độ lệch chuẩn nhỏ hơn là mẫu đồng đều hơn.

2. Ví dụ minh họa

Cho mẫu số liệu: $4, 6, 8, 10$. Số trung bình là $\bar{x} = \frac{4 + 6 + 8 + 10}{4} = 7$. Phương sai: $s^2 = \frac{(4-7)^2 + (6-7)^2 + (8-7)^2 + (10-7)^2}{4} = \frac{9 + 1 + 1 + 9}{4} = 5$. Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{5} \approx 2{,}24$.

Xét mẫu thứ hai: $6, 7, 7, 8$ cũng có số trung bình bằng $7$, nhưng $s^2 = \frac{1 + 0 + 0 + 1}{4} = 0{,}5$ và $s \approx 0{,}71$. Hai mẫu có cùng số trung bình nhưng mẫu thứ hai tập trung hơn nhiều quanh giá trị trung bình, thể hiện qua độ lệch chuẩn nhỏ hơn.

3. Ghi nhớ

• Phương sai: $s^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$; độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$.
• Độ lệch chuẩn cùng đơn vị với dữ liệu, dễ diễn giải.
• Phương sai, độ lệch chuẩn càng nhỏ thì dữ liệu càng đồng đều.
• Với mẫu ghép nhóm: dùng giá trị đại diện là trung điểm mỗi nhóm.