Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

1. Kiến thức trọng tâm

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: $R = \max - \min$. Khoảng biến thiên cho biết mức độ phân tán tổng thể nhưng dễ bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lai.

Để đo độ phân tán một cách ổn định hơn, người ta dùng các tứ phân vị. Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần, trung vị chia mẫu thành hai nửa. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là trung vị của nửa dưới, tứ phân vị thứ hai $Q_2$ là trung vị của toàn bộ mẫu, tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là trung vị của nửa trên. Khoảng tứ phân vị là $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$, đo độ phân tán của $50$ dữ liệu ở giữa, ít bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lai.

Với mẫu số liệu ghép nhóm, các tứ phân vị được tính bằng công thức nội suy trong nhóm chứa chúng, còn khoảng biến thiên thường được tính bằng hiệu hai đầu mút của nhóm đầu và nhóm cuối. Khoảng tứ phân vị càng nhỏ thì dữ liệu càng tập trung quanh trung vị.

2. Ví dụ minh họa

Cho mẫu số liệu: $2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 15$. Giá trị nhỏ nhất là $2$, lớn nhất là $15$, nên khoảng biến thiên $R = 15 - 2 = 13$. Trung vị $Q_2$ là trung bình của hai số giữa: $Q_2 = \frac{7 + 8}{2} = 7{,}5$.

Nửa dưới là $2, 4, 5, 7$ nên $Q_1 = \frac{4 + 5}{2} = 4{,}5$. Nửa trên là $8, 10, 12, 15$ nên $Q_3 = \frac{10 + 12}{2} = 11$. Vậy khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = 11 - 4{,}5 = 6{,}5$. Khoảng tứ phân vị $6{,}5$ nhỏ hơn nhiều so với khoảng biến thiên $13$.

3. Ghi nhớ

• Khoảng biến thiên: $R = \max - \min$, nhạy với giá trị ngoại lai.
• $Q_1, Q_2, Q_3$: trung vị của nửa dưới, toàn mẫu, nửa trên.
• Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$, đo độ phân tán của $50$ dữ liệu giữa.
• So sánh hai mẫu: khoảng tứ phân vị nhỏ hơn nghĩa là dữ liệu tập trung hơn.