Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

1. Kiến thức trọng tâm

Cho hai vectơ $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ trong không gian $Oxyz$. Khi đó: $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2)$, $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2; z_1 - z_2)$ và $k\vec{a} = (kx_1; ky_1; kz_1)$ với $k$ là số thực. Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng bằng nhau.

Tích vô hướng của hai vectơ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$. Độ dài của vectơ $\vec{a}$ là $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$. Góc giữa hai vectơ khác $\vec{0}$ được tính bằng $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

Hai vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng bằng $0$. Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi tọa độ của chúng tỉ lệ với nhau (với vectơ khác $\vec{0}$). Các công thức này cho phép chuyển nhiều bài toán hình học không gian thành bài toán đại số tọa độ, dễ tính toán và kiểm chứng.

2. Ví dụ minh họa

Cho $\vec{a} = (1; 2; 3)$ và $\vec{b} = (2; -1; 0)$. Ta có $\vec{a} + \vec{b} = (3; 1; 3)$, $2\vec{a} = (2; 4; 6)$ và $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 = 0$. Vậy $\vec{a}$ vuông góc với $\vec{b}$.

Độ dài của $\vec{a}$ là $|\vec{a}| = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$, độ dài của $\vec{b}$ là $|\vec{b}| = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}$. Với vectơ $\vec{c} = (2; 4; 6)$ ta thấy $\vec{c} = 2\vec{a}$ nên $\vec{c}$ cùng phương với $\vec{a}$.

3. Ghi nhớ

• Cộng, trừ, nhân với số: thực hiện theo từng tọa độ.
• Tích vô hướng: tổng các tích tọa độ tương ứng.
• Vuông góc $\iff$ tích vô hướng bằng $0$.
• Cùng phương $\iff$ tọa độ tỉ lệ; góc tính qua $\cos$ bằng tỉ số tích vô hướng và tích độ dài.