Bài tập cuối chương 6

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 6 ôn tập xác suất có điều kiện, công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Nội dung cốt lõi gồm: định nghĩa xác suất có điều kiện $P(A \mid B)$ là xác suất của biến cố $A$ khi biết biến cố $B$ đã xảy ra; công thức nhân xác suất $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$; công thức xác suất toàn phần tính xác suất của một biến cố thông qua một hệ đầy đủ các biến cố; công thức Bayes dùng để tính xác suất ngược, tức là xác suất của một nguyên nhân khi đã biết kết quả.

Điểm mấu chốt là nhận biết đúng biến cố điều kiện và biến cố cần tính. Trong nhiều bài toán thực tiễn như xét nghiệm y tế, kiểm tra chất lượng sản phẩm, cần phân biệt rõ $P(A \mid B)$ và $P(B \mid A)$ để tránh nhầm lẫn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Một hộp có $3$ bi đỏ và $2$ bi xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt $2$ bi không hoàn lại. Biết bi thứ nhất lấy ra là bi đỏ, tính xác suất bi thứ hai lấy ra là bi xanh.

Lời giải. Sau khi lấy ra một bi đỏ, trong hộp còn $2$ bi đỏ và $2$ bi xanh, tổng cộng $4$ bi. Xác suất lấy được bi xanh ở lần thứ hai, với điều kiện lần thứ nhất đã lấy bi đỏ, là: $$P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$

3. Ghi nhớ

• Xác suất có điều kiện: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$, với P(B) > 0.
• Công thức nhân xác suất: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$.
• Công thức Bayes: $P(B_i \mid A) = \dfrac{P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)}{P(A)}$.