Bài 6: Vectơ trong không gian

1. Kiến thức trọng tâm

Vectơ trong không gian là đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối. Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Vectơ $\vec{0}$ có độ dài bằng $0$ và hướng tùy ý. Tổng của hai vectơ được xác định bằng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.

Tích của một số $k$ với vectơ $\vec{a}$ là vectơ $k\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ nếu k > 0, ngược hướng nếu k < 0, và có độ dài $|k| \cdot |\vec{a}|$. Các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của phép cộng vectơ và phép nhân với số vẫn đúng như trong mặt phẳng.

Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ được gọi là đồng phẳng nếu các đường thẳng chứa chúng song song với cùng một mặt phẳng. Điều kiện đồng phẳng: tồn tại hai số $m, n$ sao cho $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ (với $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương). Quy tắc hình hộp: trong hình hộp, $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$.

2. Ví dụ minh họa

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$. Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ vì $ABCD$ là hình bình hành. Mặt khác, $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ vì $ACC'A'$ cũng là hình bình hành (do $AA' \parallel CC'$ và $AA' = CC'$). Cộng hai đẳng thức lại ta được điều phải chứng minh.

Cho tứ diện $ABCD$ và điểm $M$ là trung điểm của $CD$. Khi đó $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})$, vì $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM}$ và $\overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC})$.

3. Ghi nhớ

• Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
• Quy tắc hình bình hành: tổng hai vectơ chung gốc là vectơ đường chéo.
• Quy tắc hình hộp: đường chéo chính bằng tổng ba vectơ cạnh.
• Đồng phẳng: $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ với $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương.