Bài tập cuối chương 5

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 5 ôn tập phương pháp tọa độ trong không gian. Nội dung cốt lõi gồm: phương trình mặt phẳng, vectơ pháp tuyến, vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng; phương trình đường thẳng, vectơ chỉ phương, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng; công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai đường thẳng; công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song; phương trình mặt cầu, tâm và bán kính, vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng.

Điểm mấu chốt là biết cách viết phương trình khi biết điểm đi qua và vectơ pháp tuyến (đối với mặt phẳng) hoặc vectơ chỉ phương (đối với đường thẳng). Các bài toán về góc và khoảng cách đều quy về việc tính tích vô hướng và độ dài vectơ.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1; 2; 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; -1; 1)$.

Lời giải. Phương trình mặt phẳng có dạng $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$. Thay $M(1; 2; 3)$ và $\vec{n} = (2; -1; 1)$ vào, ta được: $$2(x - 1) - 1(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \iff 2x - y + z - 3 = 0.$$ Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là $2x - y + z - 3 = 0$.

3. Ghi nhớ

• Mặt phẳng qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.
• Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(P)$: $d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.
• Mặt cầu tâm $I(a; b; c)$, bán kính $R$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$.