Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

1. Kiến thức trọng tâm

Đạo hàm đo tốc độ thay đổi tức thời của một đại lượng. Trong thực tiễn, nhiều bài toán quy về việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số: doanh thu, lợi nhuận, chi phí, diện tích, thể tích, quãng đường. Quy trình giải gồm ba bước: lập hàm số mô tả đại lượng cần tối ưu theo biến số thực tế; tìm tập xác định phù hợp với điều kiện thực tế; dùng đạo hàm hoặc bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất rồi trả lời.

Một số mô hình quen thuộc: lợi nhuận $P(x) = R(x) - C(x)$, trong đó $R$ là doanh thu và $C$ là chi phí; tốc độ thay đổi của dân số, nồng độ thuốc trong máu theo thời gian; hình hộp, hình trụ có thể tích cho trước với diện tích toàn phần nhỏ nhất. Khi lập hàm số, cần chú ý điều kiện của biến, chẳng hạn độ dài, khối lượng luôn dương và thường bị giới hạn bởi thực tế.

Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm trong, đó thường là đáp án tối ưu; nếu không, giá trị tối ưu nằm ở đầu mút của tập xác định. Cần kiểm tra tính hợp lí của đáp án với ngữ cảnh bài toán.

2. Ví dụ minh họa

Một cửa hàng bán $x$ sản phẩm mỗi ngày với lợi nhuận $P(x) = -x^2 + 120x - 2000$ (nghìn đồng), 0 < x < 150. Ta có $P'(x) = -2x + 120$, nên $P'(x) = 0 \iff x = 60$.

Bảng biến thiên cho thấy $P$ tăng trên $(0; 60)$ và giảm trên $(60; 150)$, đạt cực đại tại $x = 60$ với $P(60) = -3600 + 7200 - 2000 = 1600$. Vậy bán $60$ sản phẩm mỗi ngày thì lợi nhuận lớn nhất, bằng $1600$ nghìn đồng, tức $1,600,000$ đồng.

3. Ghi nhớ

• Ba bước: lập hàm số → tìm tập xác định → tối ưu bằng đạo hàm.
• Luôn ghi điều kiện thực tế của biến số.
• Kiểm tra giá trị tối ưu tại điểm tới hạn và tại đầu mút.
• Trả lời bằng ngôn ngữ thực tế, kèm đơn vị đo.