Bài tập cuối chương 4

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 4 ôn tập nguyên hàm, tích phân và ứng dụng hình học của tích phân. Nội dung cốt lõi gồm: khái niệm nguyên hàm, bảng nguyên hàm của một số hàm số cơ bản, các tính chất của nguyên hàm; khái niệm tích phân, các tính chất của tích phân, phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần; ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số và trục hoành, tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục $Ox$.

Điểm mấu chốt là nắm vững mối liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân qua công thức Newton – Leibniz: $\int_a^b f(x),dx = F(b) - F(a)$, trong đó $F$ là một nguyên hàm của $f$. Khi tính diện tích hình phẳng, cần xác định đúng cận tích phân và lấy trị tuyệt đối của hiệu hai hàm số nếu cần.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Tính tích phân $I = \int_0^1 (2x + 1),dx$.

Lời giải. Một nguyên hàm của $f(x) = 2x + 1$ là $F(x) = x^2 + x$. Áp dụng công thức Newton – Leibniz: $$I = F(1) - F(0) = (1^2 + 1) - (0^2 + 0) = 2.$$ Vậy tích phân cần tính bằng $2$. Về mặt hình học, kết quả này bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2x + 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 1$.

3. Ghi nhớ

• Đạo hàm của nguyên hàm bằng chính hàm số ban đầu.
• Tích phân có thể tính bằng công thức Newton – Leibniz.
• Diện tích hình phẳng $S = \int_a^b |f(x) - g(x)|,dx$; thể tích tròn xoay $V = \pi \int_a^b f^2(x),dx$.