Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

1. Kiến thức trọng tâm

Khảo sát hàm số gồm các bước: tìm tập xác định; xét sự biến thiên (tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn, lập bảng biến thiên, kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị); tìm các đường tiệm cận (nếu có); vẽ đồ thị (tìm giao điểm với các trục tọa độ, thêm một số điểm đặc biệt, vẽ đường cong trơn).

Với hàm đa thức bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$), đồ thị không có tiệm cận, có dạng cong với tối đa hai điểm cực trị. Tâm đối xứng của đồ thị là điểm uốn, có hoành độ $x_0 = -\frac{b}{3a}$.

Với hàm phân thức $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ ($c \ne 0$, $ad - bc \ne 0$), đồ thị có một tiệm cận đứng $x = -\frac{d}{c}$ và một tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$; giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị. Đồ thị gồm hai nhánh nằm ở hai góc đối nhau qua tâm đối xứng.

Khi vẽ, cần xác định đúng chiều biến thiên trên từng khoảng, vị trí cực trị, tiệm cận và giao điểm với trục $Ox$, $Oy$ để đường cong chính xác.

2. Ví dụ minh họa

Khảo sát $y = x^3 - 3x$. Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm $y' = 3x^2 - 3$, $y' = 0 \iff x = \pm 1$. Bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$, nghịch biến trên $(-1; 1)$; cực đại tại $(-1; 2)$, cực tiểu tại $(1; -2)$.

Đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0; 0)$ và cắt trục $Ox$ tại $x = 0, x = \pm\sqrt{3}$. Điểm uốn có hoành độ $x = 0$. Vẽ đường cong đi qua các điểm trên, đi lên ở hai đầu theo chiều biến thiên đã tìm được, ta được đồ thị hoàn chỉnh.

3. Ghi nhớ

• Đúng thứ tự: tập xác định → biến thiên → tiệm cận → đồ thị.
• Bảng biến thiên phải ghi rõ dấu đạo hàm, chiều mũi tên và các giá trị cực trị.
• Đồ thị hàm bậc ba có tâm đối xứng là điểm uốn.
• Đồ thị hàm phân thức có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận.