Bài tập ôn — Toán 12, Học kì 2 (Kiểm tra giữa kì)

Phạm vi: Bài 11: Nguyên hàm; Bài 12: Tích phân; Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân; Bài 14: Phương trình mặt phẳng; Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian; Bài 16: Công thức tính góc trong không gian; Bài 17: Phương trình mặt cầu

Phần 1: Cơ bản

Bài 1. Tính $\int_0^1 (x^2 + x),dx$.

Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A(1; 0; 0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (0; 1; 0)$.

Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua $O(0; 0; 0)$ và song song với mặt phẳng $(P): x + y + z = 1$.

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A(0; 0; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 2; 3)$.

Bài 5. Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1; 1; 1)$, bán kính $2$.

Bài 6. Tính khoảng cách từ điểm $M(1; 1; 1)$ đến mặt phẳng $(P): z = 0$.

Bài 7. Tính góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là $(1; 0; 0)$ và $(0; 1; 0)$.

Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$.

Bài 9. Tính $\int_0^1 (2x + e^x),dx$.

Bài 10. Viết phương trình mặt phẳng $(Oxy)$.

Bài 11. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A(1; 1; 0)$ và $B(2; 2; 1)$.

Bài 12. Mặt cầu $(x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 9$ có tâm và bán kính là gì?

Bài 13. Tính $\int_1^3 \dfrac{1}{x},dx$.

Bài 14. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 1$ quanh trục $Ox$.

Bài 15. Tính góc giữa đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $(1; 0; 0)$ và mặt phẳng $(P): x = 0$.

Bài 16. Tính khoảng cách từ $O(0; 0; 0)$ đến mặt phẳng $x + y + z - 6 = 0$.

Phần 2: Nâng cao

Bài 17. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A(1; 2; 3)$, $B(2; 1; 0)$, $C(0; 0; 1)$.

Bài 18. Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng $x + y = 0$ và $z = 1$.

Bài 19. Tính khoảng cách từ điểm $M(1; 0; 0)$ đến mặt phẳng $2x + y - 2z - 6 = 0$.

Bài 20. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P): x + y = 0$ và $(Q): y + z = 0$.

Bài 21. Viết phương trình mặt cầu tâm $I(0; 1; 2)$ đi qua điểm $A(1; 1; 1)$.

Bài 22. Tính $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x,dx$.

Bài 23. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = -x^2 + 4$ và $y = 0$.

Bài 24. Tìm $m$ để mặt phẳng $(P): x + 2y + mz - 1 = 0$ song song với mặt phẳng $(Q): 2x + 4y + 6z + 5 = 0$.

Đáp án

1. $\dfrac{5}{6}$. Vì $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}$.
2. $y = 0$.
3. $x + y + z = 0$.
4. $x = t;\ y = 2t;\ z = 3t$.
5. $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 4$.
6. $1$.
7. $90^\circ$.
8. $\dfrac{7}{3}$. Vì $\int_1^2 x^2,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^2 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$.
9. $e$. Vì $\left[x^2 + e^x\right]_0^1 = (1 + e) - (0 + 1) = e$.
10. $z = 0$.
11. $x = 1 + t;\ y = 1 + t;\ z = t$ (vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (1; 1; 1)$).
12. Tâm $I(2; 0; 0)$, bán kính $R = 3$.
13. $\ln 3$.
14. $\dfrac{\pi}{5}$. Vì $V = \pi\int_0^1 x^4,dx = \dfrac{\pi}{5}$.
15. $90^\circ$. Đường thẳng $d$ song song với vectơ pháp tuyến $(1; 0; 0)$ của $(P)$ nên $d$ vuông góc với $(P)$.
16. $2\sqrt{3}$. Vì $d = \dfrac{|0 + 0 + 0 - 6|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.
17. $4x - 5y + 3z - 3 = 0$. Ta có $\overrightarrow{AB} = (1; -1; -3)$, $\overrightarrow{AC} = (-1; -2; -2)$, vectơ pháp tuyến $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-4; 5; -3)$. Phương trình: $-4(x - 1) + 5(y - 2) - 3(z - 3) = 0 \Leftrightarrow 4x - 5y + 3z - 3 = 0$. Kiểm tra: $B(2; 1; 0)$ thỏa $8 - 5 - 3 = 0$; $C(0; 0; 1)$ thỏa $3 - 3 = 0$.
18. $x = t;\ y = -t;\ z = 1$. (Giao tuyến đi qua $(0; 0; 1)$, có vectơ chỉ phương $(1; -1; 0)$.)
19. $\dfrac{4}{3}$. Vì $d = \dfrac{|2\cdot 1 + 0 - 0 - 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{4}{3}$.
20. $60^\circ$. Với $\vec{n}_1 = (1; 1; 0)$, $\vec{n}_2 = (0; 1; 1)$: $\cos\varphi = \dfrac{|1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}$, suy ra $\varphi = 60^\circ$.
21. $x^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 2$. Vì $R = IA = \sqrt{(1 - 0)^2 + 0 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2}$.
22. $\dfrac{\pi}{4}$. Vì $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$ nên $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x,dx = \left[\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi/2} = \dfrac{\pi}{4}$.
23. $\dfrac{32}{3}$. Hoành độ giao điểm $x = \pm 2$; $S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2),dx = \left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \dfrac{8}{3}\right) - \left(-8 + \dfrac{8}{3}\right) = \dfrac{32}{3}$.
24. $m = 3$. Hai mặt phẳng song song khi các hệ số tỉ lệ: $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{m}{6}$, suy ra $m = 3$.