Bài tập ôn — Toán 12, Học kì 2 (Kiểm tra cuối kì)

Phạm vi: Toàn bộ Học kì 2 — Bài 11: Nguyên hàm; Bài 12: Tích phân; Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân; Bài 14: Phương trình mặt phẳng; Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian; Bài 16: Công thức tính góc trong không gian; Bài 17: Phương trình mặt cầu; Bài 18: Xác suất có điều kiện; Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Phần 1: Cơ bản

Bài 1. Tính $\int_0^1 (x^3 + 1),dx$.

Bài 2. Tính $\int_0^{\pi/2} \cos x,dx$.

Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua $M(1; 2; 0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 0; 1)$.

Bài 4. Viết phương trình mặt cầu tâm $O(0; 0; 0)$, bán kính $5$.

Bài 5. Tính $P(A \cap B)$ biết $P(A) = 0,3$ và $P(B \mid A) = 0,4$.

Bài 6. Tính $P(B \mid A)$ biết $P(A \cap B) = 0,2$ và $P(A) = 0,5$.

Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 4$.

Bài 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A(0; 1; 2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 0; 1)$.

Bài 9. Tính $\int_1^2 \left(3x^2 + \dfrac{1}{x}\right)dx$.

Bài 10. Tính góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là $(1; 1; 0)$ và $(1; -1; 0)$.

Bài 11. Tính khoảng cách từ điểm $M(0; 0; 2)$ đến mặt phẳng $(Oxy)$.

Bài 12. Tính $P(A)$ theo công thức xác suất toàn phần, biết $P(B) = 0,6$, $P(A \mid B) = 0,3$, $P(A \mid \bar{B}) = 0,1$.

Bài 13. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 4$ quanh trục $Ox$.

Bài 14. Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1; 2; 3)$ đi qua $O(0; 0; 0)$.

Bài 15. Tính $\int_0^1 (e^x + 1),dx$.

Bài 16. Tung một con xúc xắc cân đối. Biết kết quả là số chẵn, tính xác suất được mặt $6$ chấm.

Bài 17. Tính góc giữa đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $(0; 0; 1)$ và mặt phẳng $(Oxy)$.

Bài 18. Tính $\int_0^2 (x^2 - 2x + 1),dx$.

Phần 2: Nâng cao

Bài 19. Tính $\int_0^1 x\ln x,dx$.

Bài 20. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.

Bài 21. Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A(1; 0; 0)$ và chứa đường thẳng $d$: $x = t;\ y = 1;\ z = 2t$.

Bài 22. Tính góc giữa đường thẳng $d$: $x = 1 + t;\ y = t;\ z = 1 - t$ và mặt phẳng $(P): x + y + z = 0$.

Bài 23. Có hai hộp. Hộp I có $2$ bi đỏ, $3$ bi xanh. Hộp II có $4$ bi đỏ, $1$ bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi lấy ra một bi, được bi đỏ. Tính xác suất hộp được chọn là hộp I.

Bài 24. Tính $\int_0^{\pi/2} \sin^3 x,dx$.

Bài 25. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 1$, $x = 0$ ($x \ge 0$) quanh trục $Oy$.

Bài 26. Tỉ lệ mắc một bệnh trong dân số là $2$. Một xét nghiệm cho kết quả dương tính đúng $95$ với người mắc bệnh và dương tính giả $5$ với người không mắc bệnh. Tính xác suất một người thực sự mắc bệnh khi xét nghiệm cho kết quả dương tính.

Đáp án

1. $\dfrac{5}{4}$. Vì $\left[\dfrac{x^4}{4} + x\right]_0^1 = \dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{5}{4}$.
2. $1$.
3. $x + z - 1 = 0$. Vì $1\cdot(x - 1) + 0\cdot(y - 2) + 1\cdot(z - 0) = 0$.
4. $x^2 + y^2 + z^2 = 25$.
5. $0,12$. Vì $P(A \cap B) = P(A),P(B \mid A) = 0,3 \cdot 0,4 = 0,12$.
6. $0,4$. Vì $P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0,2}{0,5} = 0,4$.
7. $8$. Vì $\int_0^4 x,dx = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8$.
8. $x = 2t;\ y = 1;\ z = 2 + t$.
9. $7 + \ln 2$. Vì $\left[x^3 + \ln x\right]_1^2 = (8 + \ln 2) - (1 + 0) = 7 + \ln 2$.
10. $90^\circ$. Vì $\cos\varphi = \dfrac{|1\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 0|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = 0$.
11. $2$.
12. $0,22$. Vì $P(A) = P(A \mid B)P(B) + P(A \mid \bar{B})P(\bar{B}) = 0,3\cdot 0,6 + 0,1\cdot 0,4 = 0,18 + 0,04 = 0,22$.
13. $8\pi$. Vì $V = \pi\int_0^4 x,dx = \pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi$.
14. $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 14$. Vì $R = IO = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
15. $e$. Vì $\left[e^x + x\right]_0^1 = (e + 1) - (1 + 0) = e$.
16. $\dfrac{1}{3}$. Có $3$ kết quả chẵn ${2; 4; 6}$, trong đó $1$ kết quả là $6$.
17. $90^\circ$. Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$.
18. $\dfrac{2}{3}$. Vì $(x^2 - 2x + 1) = (x - 1)^2$ nên $\int_0^2 (x - 1)^2,dx = \left[\dfrac{(x - 1)^3}{3}\right]_0^2 = \dfrac{1}{3} - \left(-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{2}{3}$.
19. $-\dfrac{1}{4}$. Dùng từng phần với $u = \ln x$, $dv = x,dx$: $\int_0^1 x\ln x,dx = \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]0^1 - \int_0^1 \dfrac{x}{2},dx = 0 - \dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{4}$(vì$\lim{x \to 0^+} x^2\ln x = 0$).
20. $\dfrac{4}{3}$. Hoành độ giao điểm $x = 0$ và $x = 2$; $S = \int_0^2 (2x - x^2),dx = \left[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}$.
21. $2x + 2y - z - 2 = 0$. Đường thẳng $d$ đi qua $M(0; 1; 0)$, có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 0; 2)$; $\overrightarrow{MA} = (1; -1; 0)$; vectơ pháp tuyến $\vec{n} = \overrightarrow{MA} \times \vec{u} = (-2; -2; 1)$. Phương trình: $-2(x - 1) - 2y + z = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z - 2 = 0$. Kiểm tra: $M(0; 1; 0)$ thỏa $0 + 2 - 0 - 2 = 0$; $\vec{n}\cdot\vec{u} = -2 + 2 = 0$.
22. $\varphi = \arcsin\dfrac{1}{3} \approx 19,47^\circ$. Với $\vec{u} = (1; 1; -1)$, $\vec{n} = (1; 1; 1)$: $\sin\varphi = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{n}|} = \dfrac{|1|}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \dfrac{1}{3}$.
23. $\dfrac{1}{3}$. Theo công thức Bayes: $P(\text{I} \mid \text{đỏ}) = \dfrac{\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}}{\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5} + \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}} = \dfrac{1/5}{1/5 + 2/5} = \dfrac{1}{3}$.
24. $\dfrac{2}{3}$. Viết $\sin^3 x = \sin x,(1 - \cos^2 x)$ và đặt $u = \cos x$: $\int_0^{\pi/2} \sin^3 x,dx = \int_0^1 (1 - u^2),du = \left[u - \dfrac{u^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{2}{3}$.
25. $\dfrac{\pi}{2}$. Dùng vỏ trụ: $V = 2\pi\int_0^1 x(1 - x^2),dx = 2\pi\left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{4}\right]_0^1 = 2\pi\cdot\dfrac{1}{4} = \dfrac{\pi}{2}$.
26. $\dfrac{19}{68} \approx 27,9$. Theo công thức Bayes: $P(\text{bệnh} \mid +) = \dfrac{0,95\cdot 0,02}{0,95\cdot 0,02 + 0,05\cdot 0,98} = \dfrac{0,019}{0,019 + 0,049} = \dfrac{0,019}{0,068} = \dfrac{19}{68}$.