Bài tập ôn – Toán 12 – HK1 (Kiểm tra giữa kỳ)

Môn: Toán 12 (Kết nối tri thức) — Phạm vi: Bài 1–8 (Đạo hàm và ứng dụng, Vectơ trong không gian, Hệ trục tọa độ).

Phần 1: Cơ bản

1. Cho hàm số $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến.
2. Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 3$.
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 1$ trên đoạn $[0; 3]$.
4. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x + 2}{x - 1}$.
5. Cho $\vec{a} = (2; -1; 0)$, $\vec{b} = (-1; 3; 2)$. Tính $\vec{a} - \vec{b}$.
6. Tính độ dài của vectơ $\vec{a} = (2; 2; 1)$.
7. Cho $A(0; 1; 2)$, $B(2; 3; 4)$. Tính $\overrightarrow{AB}$ và $|\overrightarrow{AB}|$.
8. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn $AB$ với $A(1; -2; 3)$, $B(-1; 4; 1)$.
9. Tìm hình chiếu của điểm $M(3; -2; 5)$ lên mặt phẳng $(Oxz)$.
10. Cho hàm số $y = x^3 - 3x + 1$. Tính $y'(2)$.
11. Đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ cắt trục $Oy$ tại điểm nào?
12. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^2 + 6x + 5$ trên đoạn $[-4; 0]$.
13. Cho $\vec{a} = (1; 2; 3)$, $\vec{b} = (4; -1; 0)$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
14. Hàm số $y = x^4 + x^2 - 1$ có bao nhiêu điểm cực trị?
15. Hàm số $y = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$ có tiệm cận ngang không? Vì sao?
16. Cho $\vec{u} = (1; -1; 2)$, $\vec{v} = (2; 0; 1)$. Tính $\vec{u} + 2\vec{v}$.

Phần 2: Nâng cao

1. Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 - 3x^2 + mx + 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
2. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + m$ cắt trục $Ox$ tại ba điểm phân biệt.
3. Cho $A(1; 0; 0)$, $B(2; 1; 0)$, $C(1; 1; 1)$. Tính góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.
4. Tìm tọa độ điểm $M$ trên trục $Ox$ sao cho $M$ cách đều hai điểm $A(1; 2; 0)$ và $B(3; 1; 0)$.
5. Tìm $m$ để hàm số $y = x^4 - 2mx^2 + m + 1$ có ba điểm cực trị.
6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \sqrt{9 - x^2}$ trên đoạn $[-3; 3]$.
7. Tìm $m$ để vectơ $\vec{a} = (1; m; 2)$ vuông góc với vectơ $\vec{b} = (2; -1; m)$.
8. Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 + 3mx^2 + 1$ có cực đại và cực tiểu.

Đáp án

1. $y' = 3(x - 1)(x - 3)$; đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$; nghịch biến trên $(1; 3)$.
2. Cực đại $(0; 3)$; cực tiểu $(\pm 1; 2)$.
3. GTLN $= 1$; GTNN $= -3$.
4. Tiệm cận đứng $x = 1$; tiệm cận ngang $y = 3$.
5. $\vec{a} - \vec{b} = (3; -4; -2)$.
6. $|\vec{a}| = 3$.
7. $\overrightarrow{AB} = (2; 2; 2)$; $|\overrightarrow{AB}| = 2\sqrt{3}$.
8. $(0; 1; 2)$.
9. $(3; 0; 5)$.
10. $y'(2) = 9$.
11. $(0; 2)$.
12. GTNN $= -4$ (tại $x = -3$).
13. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$.
14. $1$ điểm cực trị.
15. Không có tiệm cận ngang vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu.
16. $\vec{u} + 2\vec{v} = (5; -1; 4)$.
17. $y' = 3x^2 - 6x + m \ge 0$ với mọi $x \Leftrightarrow \Delta' = 9 - 3m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 3$.
18. Cần giá trị cực đại > 0 và giá trị cực tiểu < 0: m > 0 và m - 4 < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4.
19. $\overrightarrow{AB} = (1; 1; 0)$; $\overrightarrow{AC} = (0; 1; 1)$; $\cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \dfrac{1}{2}$ nên góc bằng $60^\circ$.
20. $M\left(\dfrac{5}{4}; 0; 0\right)$.
21. m > 0.
22. GTLN $= 3\sqrt{2}$ (tại $x = \dfrac{3}{\sqrt{2}}$); GTNN $= -3$ (tại $x = -3$).
23. $2 - m + 2m = 0 \Leftrightarrow m = -2$.
24. $y' = 3x^2 + 6mx = 3x(x + 2m)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m \ne 0$.