Bài tập ôn – Toán 12 – HK1 (Kiểm tra cuối kỳ)

Môn: Toán 12 (Kết nối tri thức) — Phạm vi: Bài 1–10 (toàn HK1: Đạo hàm và ứng dụng, Vectơ trong không gian, Thống kê).

Phần 1: Cơ bản

1. Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến.
2. Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = x^4 - 4x^2 + 1$.
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ trên đoạn $[-2; 2]$.
4. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{4x - 1}{2x + 3}$.
5. Cho $\vec{a} = (3; -2; 1)$. Tính $|\vec{a}|$.
6. Cho $\vec{a} = (1; 2; -1)$, $\vec{b} = (0; -1; 3)$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
7. Cho $A(2; 1; 0)$, $B(0; -1; 4)$. Tính $\overrightarrow{AB}$.
8. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn $AB$ với $A(3; 0; -2)$, $B(1; 4; 2)$.
9. Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ${1; 3; 5; 7; 9}$.
10. Tính phương sai của mẫu số liệu ${2; 4; 6; 8}$.
11. Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ${2; 4; 6; 8}$.
12. Cho mẫu số liệu ${1; 2; 3; 4; 5}$. Tìm $Q_1$, $Q_3$ và khoảng tứ phân vị.
13. Đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 2$ cắt trục $Oy$ tại điểm nào?
14. Đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ cắt trục $Ox$ tại những điểm nào?
15. Tìm hình chiếu của điểm $M(1; 2; -3)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$.
16. Cho $\vec{u} = (2; 0; -1)$, $\vec{v} = (1; 3; 2)$. Tính $2\vec{u} + \vec{v}$.
17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^2 - 4x + 1$ trên đoạn $[1; 4]$.
18. Cho mẫu số liệu ${10; 12; 14; 16; 18}$. Tính số trung bình và phương sai của mẫu.

Phần 2: Nâng cao

1. Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 1)x + 1$ có cực đại và cực tiểu.
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \sqrt{1 - x^2}$ trên đoạn $[-1; 1]$.
3. Cho $A(1; 1; 1)$, $B(2; 3; 0)$, $C(0; 2; 2)$. Tính góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.
4. Tính phương sai của mẫu số liệu ${1; 3; 5; 7; 9}$.
5. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - 2x + m}{x - 1}$ có tiệm cận đứng là $x = 1$.
6. Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm $M(2; -1; 3)$ qua mặt phẳng $(Oyz)$.
7. Tìm $m$ để hàm số $y = x^4 - 4x^2 + m$ có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$ bằng $0$.
8. Cho mẫu số liệu ${4; 6; 8; 10}$. Tính khoảng tứ phân vị của mẫu.

Đáp án

1. Đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$; nghịch biến trên $(0; 2)$.
2. Cực đại $(0; 1)$; cực tiểu $(\pm\sqrt{2}; -3)$.
3. GTLN $= 3$; GTNN $= -1$.
4. Tiệm cận đứng $x = -\dfrac{3}{2}$; tiệm cận ngang $y = 2$.
5. $|\vec{a}| = \sqrt{14}$.
6. $\vec{a} \cdot \vec{b} = -5$.
7. $\overrightarrow{AB} = (-2; -2; 4)$.
8. $(2; 2; 0)$.
9. $R = 9 - 1 = 8$.
10. $s^2 = 5$.
11. $s = \sqrt{5}$.
12. $Q_1 = 1{,}5$; $Q_3 = 4{,}5$; khoảng tứ phân vị $= 3$.
13. $(0; 2)$.
14. $(1; 0)$, $(1 + \sqrt{3}; 0)$, $(1 - \sqrt{3}; 0)$.
15. $(1; 2; 0)$.
16. $2\vec{u} + \vec{v} = (5; 3; 0)$.
17. $y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2 - 1)$; \Delta' = 9 > 0 nên hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi $m$.
18. GTLN $= \sqrt{2}$ (tại $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$); GTNN $= -1$ (tại $x = -1$).
19. $\overrightarrow{AB} = (1; 2; -1)$; $\overrightarrow{AC} = (-1; 1; 1)$; tích vô hướng $= 0$ nên góc bằng $90^\circ$.
20. Số trung bình $\bar{x} = 5$; phương sai $s^2 = 8$.
21. Tại $x = 1$, tử bằng $m - 1$. Cần $m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1$.
22. $(-2; -1; 3)$.
23. GTNN tại $x = \pm\sqrt{2}$ bằng $m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4$.
24. $Q_1 = 5$; $Q_3 = 9$; khoảng tứ phân vị $= 4$.