Bài tập ôn — Toán 12, Học kì 2 (1 tiết)

Phạm vi: Bài 11: Nguyên hàm; Bài 12: Tích phân; Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

Phần 1: Cơ bản

Bài 1. Tìm nguyên hàm của $f(x) = 4x^3$.

Bài 2. Tìm nguyên hàm của $f(x) = 2\cos x$.

Bài 3. Tìm nguyên hàm của $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ với x > 0.

Bài 4. Tính $\int_0^1 (3x^2 + 2),dx$.

Bài 5. Tính $\int_0^{\pi} \sin x,dx$.

Bài 6. Tính $\int_1^e \dfrac{1}{x},dx$.

Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 3$.

Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$.

Bài 9. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 1$ quanh trục $Ox$.

Bài 10. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = 1$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$ quanh trục $Ox$.

Bài 11. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = 3x^2$ thỏa mãn $F(0) = 2$.

Bài 12. Tính $\int_{-1}^{1} (x^2 + 1),dx$.

Bài 13. Tính $\int_0^2 (x - 1),dx$.

Bài 14. Tính $\int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos x),dx$.

Bài 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.

Bài 16. Tính $\int_0^1 (e^x + x),dx$.

Phần 2: Nâng cao

Bài 17. Tính $\int_0^1 x^2 e^x,dx$.

Bài 18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2 - 2x$ và $y = 0$.

Bài 19. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 1$ quanh trục $Ox$.

Bài 20. Tính $\int_0^{\pi/4} \dfrac{1}{\cos^2 x},dx$.

Bài 21. Tính $\int_0^1 \sqrt{1 - x^2},dx$.

Bài 22. Tìm nguyên hàm của $f(x) = x\cos x$.

Bài 23. Tính $\int_0^{\pi/2} x\cos x,dx$.

Bài 24. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = e^x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 1$.

Đáp án

1. $x^4 + C$.
2. $2\sin x + C$.
3. $-\dfrac{1}{x} + C$.
4. $3$. Vì $\left[x^3 + 2x\right]_0^1 = 1 + 2 = 3$.
5. $2$.
6. $1$.
7. $\dfrac{9}{2}$. Vì $\int_0^3 x,dx = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^3 = \dfrac{9}{2}$.
8. $\dfrac{8}{3}$. Vì $\int_0^2 x^2,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = \dfrac{8}{3}$.
9. $\dfrac{\pi}{3}$. Vì $V = \pi\int_0^1 x^2,dx = \pi \cdot \dfrac{1}{3}$.
10. $2\pi$. Vì $V = \pi\int_0^2 1,dx = 2\pi$.
11. $F(x) = x^3 + 2$.
12. $\dfrac{8}{3}$. Vì $\int_{-1}^{1} (x^2 + 1),dx = \left[\dfrac{x^3}{3} + x\right]_{-1}^{1} = \left(\dfrac{1}{3} + 1\right) - \left(-\dfrac{1}{3} - 1\right) = \dfrac{8}{3}$.
13. $0$. Vì $\left[\dfrac{x^2}{2} - x\right]_0^2 = (2 - 2) - 0 = 0$.
14. $2$. Vì $\int_0^{\pi/2} \sin x,dx + \int_0^{\pi/2} \cos x,dx = 1 + 1 = 2$.
15. $\dfrac{1}{6}$. Vì $S = \int_0^1 (x - x^2),dx = \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$.
16. $e - \dfrac{1}{2}$. Vì $(e - 1) + \dfrac{1}{2} = e - \dfrac{1}{2}$.
17. $e - 2$. Dùng từng phần hai lần: $\int x^2 e^x,dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$. Thay cận $0$ và $1$: $e(1 - 2 + 2) - 2 = e - 2$.
18. $\dfrac{4}{3}$. Hoành độ giao điểm $x = 0$ và $x = 2$; trên $[0; 2]$ ta có $2x - x^2 \ge 0$ nên $S = \int_0^2 (2x - x^2),dx = \left[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}$.
19. $\dfrac{\pi}{5}$. Vì $V = \pi\int_0^1 x^4,dx = \pi \cdot \dfrac{1}{5}$.
20. $1$. Vì $\int_0^{\pi/4} \dfrac{1}{\cos^2 x},dx = \left[\tan x\right]_0^{\pi/4} = 1$.
21. $\dfrac{\pi}{4}$. Tích phân bằng diện tích một phần tư hình tròn đơn vị (đặt $x = \sin t$).
22. $x\sin x + \cos x + C$. Kiểm tra: $\dfrac{d}{dx}(x\sin x + \cos x) = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$.
23. $\dfrac{\pi}{2} - 1$. Dùng từng phần: $\int_0^{\pi/2} x\cos x,dx = \left[x\sin x\right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} \sin x,dx = \dfrac{\pi}{2} - 1$.
24. $e - 1$. Vì $\int_0^1 e^x,dx = e - 1$.