Bài tập ôn — Toán 12, Học kì 2 (15 phút)

Phạm vi: Bài 11: Nguyên hàm; Bài 12: Tích phân

Phần 1: Cơ bản

Bài 1. Tìm nguyên hàm của $f(x) = 2x$.

Bài 2. Tìm nguyên hàm của $f(x) = 3$.

Bài 3. Tìm nguyên hàm của $f(x) = x^2$.

Bài 4. Tìm nguyên hàm của $f(x) = e^x$.

Bài 5. Tìm nguyên hàm của $f(x) = \sin x$.

Bài 6. Tìm nguyên hàm của $f(x) = \cos x$.

Bài 7. Tìm nguyên hàm của $f(x) = \dfrac{1}{x}$ với x > 0.

Bài 8. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = 2x + 1$ thỏa mãn $F(0) = 0$.

Bài 9. Tính $\int_0^1 x,dx$.

Bài 10. Tính $\int_0^2 3,dx$.

Bài 11. Tính $\int_1^2 x^2,dx$.

Bài 12. Tính $\int_0^1 e^x,dx$.

Bài 13. Tính $\int_0^{\pi/2} \sin x,dx$.

Bài 14. Tính $\int_0^{\pi/2} \cos x,dx$.

Bài 15. Tính $\int_0^1 (x + 1),dx$.

Bài 16. Tính $\int_{-1}^{1} x^3,dx$.

Phần 2: Nâng cao

Bài 17. Tìm nguyên hàm của $f(x) = (2x + 1)^2$.

Bài 18. Tính $\int_0^1 x e^x,dx$.

Bài 19. Tính $\int_0^{\pi} x \sin x,dx$.

Bài 20. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = \dfrac{1}{x + 1}$ thỏa mãn $F(0) = 1$.

Bài 21. Tính $\int_0^2 |x - 1|,dx$.

Bài 22. Tính $\int_1^e \dfrac{\ln x}{x},dx$.

Bài 23. Tính $\int_0^1 (x^2 + 1)^2,dx$.

Bài 24. Chứng minh rằng $\int_0^1 x^n,dx = \dfrac{1}{n + 1}$ với mọi $n \in \mathbb{N}$.

Đáp án

1. $x^2 + C$.
2. $3x + C$.
3. $\dfrac{x^3}{3} + C$.
4. $e^x + C$.
5. $-\cos x + C$.
6. $\sin x + C$.
7. $\ln x + C$.
8. $F(x) = x^2 + x$.
9. $\dfrac{1}{2}$.
10. $6$.
11. $\dfrac{7}{3}$ (vì $\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^2 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3}$).
12. $e - 1$.
13. $1$.
14. $1$.
15. $\dfrac{3}{2}$ (vì $\left[\dfrac{x^2}{2} + x\right]_0^1 = \dfrac{1}{2} + 1$).
16. $0$ (hàm lẻ trên đoạn đối xứng).
17. $\dfrac{(2x + 1)^3}{6} + C$. Kiểm tra: $\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{(2x+1)^3}{6}\right] = \dfrac{1}{6}\cdot 3(2x+1)^2 \cdot 2 = (2x+1)^2$.
18. $1$. Dùng từng phần: $\int_0^1 x e^x,dx = \left[x e^x\right]_0^1 - \int_0^1 e^x,dx = e - (e - 1) = 1$.
19. $\pi$. Dùng từng phần: $\int_0^{\pi} x \sin x,dx = \left[-x\cos x\right]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x,dx = \pi + \left[\sin x\right]_0^{\pi} = \pi$.
20. $F(x) = \ln|x + 1| + 1$.
21. $1$. Vì $\int_0^1 (1 - x),dx + \int_1^2 (x - 1),dx = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$.
22. $\dfrac{1}{2}$. Đặt $u = \ln x$, khi $x$ từ $1$ đến $e$ thì $u$ từ $0$ đến $1$: $\int_0^1 u,du = \dfrac{1}{2}$.
23. $\dfrac{28}{15}$. Vì $(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$ nên $\int_0^1 (x^4 + 2x^2 + 1),dx = \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{28}{15}$.
24. $\int_0^1 x^n,dx = \left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 = \dfrac{1}{n+1}$.