Bài tập ôn – Toán 12 – HK1 (1 tiết)

Môn: Toán 12 (Kết nối tri thức) — Phạm vi: Bài 1–6 (Đạo hàm và ứng dụng, Vectơ trong không gian).

Phần 1: Cơ bản

1. Cho hàm số $y = x^3 - 3x + 2$. Tính $y'$ và tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến.
2. Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = x^3 - 3x + 2$.
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^2 - 2x + 3$ trên đoạn $[-1; 2]$.
4. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x - 1}{2x + 2}$.
5. Lập bảng biến thiên của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 1$.
6. Cho $\vec{a} = (1; -2; 3)$, $\vec{b} = (2; 1; 0)$. Tính $\vec{a} + \vec{b}$.
7. Cho $\vec{a} = (1; -2; 3)$. Tính $|\vec{a}|$.
8. Cho $\vec{a} = (1; 0; -1)$, $\vec{b} = (2; 1; 3)$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
9. Điểm $M(2; -3; 1)$ có hình chiếu lên mặt phẳng $(Oyz)$ là điểm nào?
10. Cho $A(1; 2; 3)$, $B(4; 0; -1)$. Tính $\overrightarrow{AB}$.
11. Hàm số $y = x^4 - 4x^2 + 3$ có bao nhiêu điểm cực trị?
12. Trong các điểm $(0; 2)$, $(1; 0)$, $(2; 2)$, điểm nào thuộc đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$?
13. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 2$ trên $\mathbb{R}$.
14. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x + 3}{x - 2}$.
15. Cho $\vec{u} = (2; 1; -1)$. Tính $3\vec{u}$.
16. Cho $A(1; 1; 1)$, $B(3; 3; 3)$. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn $AB$.

Phần 2: Nâng cao

1. Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 - 3mx + 1$ có cực đại và cực tiểu.
2. Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 + mx^2 + 3x + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \sqrt{4 - x^2}$ trên đoạn $[-2; 2]$.
4. Cho $A(1; 0; 0)$, $B(0; 1; 0)$, $C(0; 0; 1)$. Tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
5. Tìm $m$ để vectơ $\vec{a} = (m; 1; 2)$ vuông góc với vectơ $\vec{b} = (2; -1; 1)$.
6. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành, biết $A(1; 2; 3)$, $B(2; 0; 1)$, $C(4; 1; 2)$.
7. Tìm $m$ để hàm số $y = x^4 - 2(m + 1)x^2 + 1$ có đúng một điểm cực trị.
8. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ trên đoạn $[-2; 2]$.

Đáp án

1. $y' = 3x^2 - 3$; đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$; nghịch biến trên $(-1; 1)$.
2. Cực đại $(-1; 4)$; cực tiểu $(1; 0)$.
3. GTLN $= 6$; GTNN $= 2$.
4. Tiệm cận đứng $x = -1$; tiệm cận ngang $y = \dfrac{1}{2}$.
5. $y' = 3x(x - 2)$; cực đại $(0; 1)$; cực tiểu $(2; -3)$.
6. $\vec{a} + \vec{b} = (3; -1; 3)$.
7. $|\vec{a}| = \sqrt{14}$.
8. $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$.
9. $(0; -3; 1)$.
10. $\overrightarrow{AB} = (3; -2; -4)$.
11. $3$ điểm cực trị.
12. $(0; 2)$ và $(1; 0)$ thuộc đồ thị; $(2; 2)$ không thuộc đồ thị.
13. GTNN $= 1$ (tại $x = \pm 1$).
14. $x = 2$.
15. $3\vec{u} = (6; 3; -3)$.
16. $(2; 2; 2)$.
17. $y' = 3x^2 - 3m$ có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow m > 0.
18. $y' = 3x^2 + 2mx + 3 \ge 0$ với mọi $x \Leftrightarrow \Delta = 4m^2 - 36 \le 0 \Leftrightarrow -3 \le m \le 3$.
19. $y' = 1 - \dfrac{x}{\sqrt{4 - x^2}} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{2}$. GTLN $= 2\sqrt{2}$; GTNN $= -2\sqrt{2}$.
20. $\overrightarrow{AB} = (-1; 1; 0)$; $\overrightarrow{AC} = (-1; 0; 1)$; tích vô hướng $= 1$.
21. $2m - 1 + 2 = 0 \Leftrightarrow m = -\dfrac{1}{2}$.
22. $D = A + C - B = (3; 3; 4)$.
23. $y' = 4x(x^2 - (m + 1))$ có đúng một nghiệm $\Leftrightarrow m + 1 \le 0 \Leftrightarrow m \le -1$.
24. GTNN $= -1$ (tại $x = -2$ và $x = 1$).