Bài tập ôn – Toán 12 – HK1 (15 phút)

Môn: Toán 12 (Kết nối tri thức) — Phạm vi: Bài 1–4 (Tính đơn điệu và cực trị, GTLN–GTNN, Đường tiệm cận, Khảo sát hàm số).

Phần 1: Cơ bản

1. Cho hàm số $y = x^3 - 3x + 1$. Tính $y'$.
2. Cho hàm số $y = x^3 - 3x + 1$. Hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng nào?
3. Cho hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 1$. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
4. Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$. Tìm điểm cực đại và điểm cực tiểu.
5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^2 - 4x + 3$ trên đoạn $[0; 3]$.
6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = -x^2 + 2x + 3$ trên đoạn $[0; 2]$.
7. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x + 1}{x - 2}$.
8. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x - 2}{x + 1}$.
9. Cho hàm số $y = x^3 + 3x^2 - 1$. Tính $y'(0)$.
10. Cho hàm số $y = x^4 - x^2 + 2$. Tính $y'$.
11. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $\mathbb{R}$: $y = x^3 + x$; $y = x^3 - 3x$; $y = -x^3 + x$?
12. Cho hàm số $y = x^3 - 12x + 5$. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ trên đoạn $[-2; 0]$.
14. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$.
15. Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 1$. Tính $y'(1)$.
16. Hàm số $y = x^4 + 4x^2 - 1$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Phần 2: Nâng cao

1. Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 - 3mx^2 + 3x + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
2. Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 - 3x^2 + m$ có giá trị cực đại bằng $5$.
3. Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 - 3x + m$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[0; 2]$ bằng $1$.
4. Chứng minh đồ thị hàm số $y = \dfrac{x + m}{x - 1}$ luôn có tiệm cận ngang $y = 1$ với mọi $m \ne -1$.
5. Tìm $m$ để hàm số $y = x^4 - 2mx^2 + 1$ có ba điểm cực trị.
6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{4 - x^2}$ trên đoạn $[-2; 2]$.
7. Tìm $m$ để hàm số $y = -x^3 + 3mx^2 + 1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
8. Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 - 3x^2 + mx + 1$ có hai điểm cực trị phân biệt.

Đáp án

1. $y' = 3x^2 - 3$.
2. Đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$; nghịch biến trên $(-1; 1)$.
3. Cực đại $(0; 1)$; cực tiểu $(\pm 1; 0)$.
4. Cực đại $(0; 2)$; cực tiểu $(2; -2)$.
5. GTLN $= 3$; GTNN $= -1$.
6. GTLN $= 4$; GTNN $= 3$.
7. $x = 2$.
8. $y = 3$.
9. $y'(0) = 0$.
10. $y' = 4x^3 - 2x$.
11. $y = x^3 + x$.
12. Cực đại $(-2; 21)$; cực tiểu $(2; -11)$.
13. GTLN $= 3$; GTNN $= -1$.
14. Tiệm cận đứng $x = 3$; tiệm cận ngang $y = 2$.
15. $y'(1) = -3$.
16. $1$ điểm cực trị ($x = 0$).
17. $y' = 3x^2 - 6mx + 3 \ge 0$ với mọi $x \Leftrightarrow \Delta' = 9m^2 - 9 \le 0 \Leftrightarrow -1 \le m \le 1$.
18. Giá trị cực đại $y(0) = m = 5 \Leftrightarrow m = 5$.
19. GTNN trên $[0; 2]$ là $y(1) = m - 2 = 1 \Leftrightarrow m = 3$.
20. $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{x + m}{x - 1} = 1$ nên tiệm cận ngang là $y = 1$.
21. $y' = 4x^3 - 4mx = 4x(x^2 - m)$ có ba nghiệm phân biệt \Leftrightarrow m > 0.
22. GTLN $= 2$ (tại $x = 0$); GTNN $= 0$ (tại $x = \pm 2$).
23. $y' = -3x^2 + 6mx \le 0$ với mọi $x \Leftrightarrow m = 0$.
24. $y' = 3x^2 - 6x + m$ có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta' = 9 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 3.