Bài tập — Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes? A. Bayes "đảo ngược" điều kiện: từ $P(A|B_i)$ suy ra $P(B_k|A)$ . B. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. B. Khi đó với biến cố $A$ bất kì, $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)$ . C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. C. Công thức xác suất toàn phần. Giả sử các biến cố $B_1, B_2, \dots, B_n$ tạo thành một hệ đầy đủ, tức là chúng đôi một xung khắc và $B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n = \Omega$ , đồng thời $P(B_i) > 0$ với mọi $i$ . D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. C. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục. D. Trong trường hợp $n = 2$ với $B$ và $\bar{B}$ : $P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\bar{B}) \cdot P(A|\bar{B})$ .

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Ví dụ 1. Một nhà máy có hai dây chuyền: dây chuyền I sản xuất $60%$ sản phẩm, tỉ lệ phế phẩm $2%$ ; dây chuyền II sản xuất $40%$ sản phẩm, tỉ lệ phế phẩm $5%$ . Tính tỉ lệ phế phẩm chung.

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Giải. $P(A) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}032 = 3{,}2%$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính $\int_0^1 (x^3 + 1),dx$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính $\int_0^{\pi/2} \cos x,dx$ .

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Viết phương trình mặt phẳng đi qua $M(1; 2; 0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 0; 1)$ .

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-A, 2-B, 3-C, 4-D.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (A): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Bayes "đảo ngược" điều kiện: từ $P(A|B_i)$ suy ra $P(B_k|A)$ ."
- Câu 2 (B): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Khi đó với biến cố $A$ bất kì, $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)$ ."
- Câu 3 (C): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Công thức xác suất toàn phần. Giả sử các biến cố $B_1, B_2, \dots, B_n$ tạo thành một hệ đầy đủ, tức là chúng đôi một xung khắc và $B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n = \Omega$ , đồng thời $P(B_i) > 0$ với mọi $i$ ."
- Câu 4 (D): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Trong trường hợp $n = 2$ với $B$ và $\bar{B}$ : $P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\bar{B}) \cdot P(A|\bar{B})$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Công thức xác suất toàn phần. Giả sử các biến cố $B_1, B_2, \dots, B_n$ tạo thành một hệ đầy đủ, tức là chúng đôi một xung khắc và $B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n = \Omega$ , đồng thời $P(B_i) > 0$ với mọi $i$ . Khi đó với biến cố $A$ bất kì, $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)$ .
- Tổng kết ghi nhớ: Bayes "đảo ngược" điều kiện: từ $P(A|B_i)$ suy ra $P(B_k|A)$ .
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Một nhà máy có hai dây chuyền: dây chuyền I sản xuất $60%$ sản phẩm, tỉ lệ phế phẩm $2%$ ; dây chuyền II sản xuất $40%$ sản phẩm, tỉ lệ phế phẩm $5%$ . Tính tỉ lệ phế phẩm chung.
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (Bayes "đảo ngược" điều kiện: từ $P(A|B_i)$ suy ra $P(B_k|A)$ .).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Giải. $P(A) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}032 = 3{,}2%$ .
Bài 4: $\dfrac{5}{4}$ . Vì $\left[\dfrac{x^4}{4} + x\right]_0^1 = \dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{5}{4}$ .
Bài 5: $1$ .
Bài 6: $x + z - 1 = 0$ . Vì $1\cdot(x - 1) + 0\cdot(y - 2) + 1\cdot(z - 0) = 0$ .

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes? A. Bayes "đảo ngược" điều kiện: từ

P(A|B_i)

suy ra

P(B_k|A)

. B. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

A

bất kì,

P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)

. C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

B_1, B_2, \dots, B_n

tạo thành một hệ đầy đủ, tức là chúng đôi một xung khắc và

B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n = \Omega

, đồng thời

P(B_i) &gt; 0

với mọi

i

. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

n = 2

với

B

và

\bar{B}

P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\bar{B}) \cdot P(A|\bar{B})

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Ví dụ 1. Một nhà máy có hai dây chuyền: dây chuyền I sản xuất $60%$ sản phẩm, tỉ lệ phế phẩm $2%$ ; dây chuyền II sản xuất $40%$ sản phẩm, tỉ lệ phế phẩm $5%$ . Tính tỉ lệ phế phẩm chung.

Giải. $P(A) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}032 = 3{,}2%$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính

\int_0^1 (x^3 + 1),dx

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính

\int_0^{\pi/2} \cos x,dx

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Viết phương trình mặt phẳng đi qua

M(1; 2; 0)

và có vectơ pháp tuyến

\vec{n} = (1; 0; 1)

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-A, 2-B, 3-C, 4-D.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (A): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Bayes "đảo ngược" điều kiện: từ $P(A|B_i)$ suy ra $P(B_k|A)$ ."
Câu 2 (B): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Khi đó với biến cố $A$ bất kì, $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)$ ."
Câu 3 (C): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Công thức xác suất toàn phần. Giả sử các biến cố $B_1, B_2, \dots, B_n$ tạo thành một hệ đầy đủ, tức là chúng đôi một xung khắc và $B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n = \Omega$ , đồng thời $P(B_i) > 0$ với mọi $i$ ."
Câu 4 (D): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Trong trường hợp $n = 2$ với $B$ và $\bar{B}$ : $P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\bar{B}) \cdot P(A|\bar{B})$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Công thức xác suất toàn phần. Giả sử các biến cố $B_1, B_2, \dots, B_n$ tạo thành một hệ đầy đủ, tức là chúng đôi một xung khắc và $B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n = \Omega$ , đồng thời $P(B_i) > 0$ với mọi $i$ . Khi đó với biến cố $A$ bất kì, $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)$ .
Tổng kết ghi nhớ: Bayes "đảo ngược" điều kiện: từ $P(A|B_i)$ suy ra $P(B_k|A)$ .

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Một nhà máy có hai dây chuyền: dây chuyền I sản xuất $60%$ sản phẩm, tỉ lệ phế phẩm $2%$ ; dây chuyền II sản xuất $40%$ sản phẩm, tỉ lệ phế phẩm $5%$ . Tính tỉ lệ phế phẩm chung.
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (Bayes "đảo ngược" điều kiện: từ $P(A|B_i)$ suy ra $P(B_k|A)$ .).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Giải. $P(A) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}032 = 3{,}2%$ .

Bài 4:

\dfrac{5}{4}

. Vì

\left[\dfrac{x^4}{4} + x\right]_0^1 = \dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{5}{4}

Bài 5:

1

Bài 6:

x + z - 1 = 0

. Vì

1\cdot(x - 1) + 0\cdot(y - 2) + 1\cdot(z - 0) = 0