Bài tập — Bài 18: Xác suất có điều kiện

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 18: Xác suất có điều kiện? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. C. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác. D. "Biết rằng $B$ đã xảy ra" nghĩa là không gian mẫu thu hẹp lại thành $B$ .

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 18: Xác suất có điều kiện, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Xác suất có điều kiện của $A$ với điều kiện $B$ đã xảy ra, kí hiệu $P(A|B)$ , tính bằng $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ . B. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 18: Xác suất có điều kiện, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) > 0$ . C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 18: Xác suất có điều kiện, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. C. Từ công thức trên suy ra công thức nhân xác suất: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$ (với $P(A) > 0$ ). D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 18: Xác suất có điều kiện, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc cân đối. Biết số chấm là số chẵn, tính xác suất số chấm là $6$ .

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 18: Xác suất có điều kiện để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Giải. Gọi $B$ là biến cố "số chấm chẵn", $A$ là biến cố "số chấm bằng $6$ ". $P(B) = \frac{1}{2}$ ; $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ . Vậy $P(A|B) = \frac{1}{3}$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x,dx$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = -x^2 + 4$ và $y = 0$ .

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tìm $m$ để mặt phẳng $(P): x + 2y + mz - 1 = 0$ song song với mặt phẳng $(Q): 2x + 4y + 6z + 5 = 0$ .

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-D, 2-A, 3-B, 4-C.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (D): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: ""Biết rằng $B$ đã xảy ra" nghĩa là không gian mẫu thu hẹp lại thành $B$ ."
- Câu 2 (A): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Xác suất có điều kiện của $A$ với điều kiện $B$ đã xảy ra, kí hiệu $P(A|B)$ , tính bằng $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ."
- Câu 3 (B): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) > 0$ ."
- Câu 4 (C): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Từ công thức trên suy ra công thức nhân xác suất: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$ (với $P(A) > 0$ )."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) > 0$ . Xác suất có điều kiện của $A$ với điều kiện $B$ đã xảy ra, kí hiệu $P(A|B)$ , tính bằng $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .
- Tổng kết ghi nhớ: "Biết rằng $B$ đã xảy ra" nghĩa là không gian mẫu thu hẹp lại thành $B$ .
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc cân đối. Biết số chấm là số chẵn, tính xác suất số chấm là $6$ .
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 18: Xác suất có điều kiện ("Biết rằng $B$ đã xảy ra" nghĩa là không gian mẫu thu hẹp lại thành $B$ .).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Giải. Gọi $B$ là biến cố "số chấm chẵn", $A$ là biến cố "số chấm bằng $6$ ". $P(B) = \frac{1}{2}$ ; $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ . Vậy $P(A|B) = \frac{1}{3}$ .
Bài 4: $\dfrac{\pi}{4}$ . Vì $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$ nên $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x,dx = \left[\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi/2} = \dfrac{\pi}{4}$ .
Bài 5: $\dfrac{32}{3}$ . Hoành độ giao điểm $x = \pm 2$ ; $S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2),dx = \left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \dfrac{8}{3}\right) - \left(-8 + \dfrac{8}{3}\right) = \dfrac{32}{3}$ .
Bài 6: $m = 3$ . Hai mặt phẳng song song khi các hệ số tỉ lệ: $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{m}{6}$ , suy ra $m = 3$ .

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

B

đã xảy ra" nghĩa là không gian mẫu thu hẹp lại thành

B

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 18: Xác suất có điều kiện, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Xác suất có điều kiện của

A

với điều kiện

B

đã xảy ra, kí hiệu

P(A|B)

, tính bằng

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

. B. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

A

và

B

với

P(B) &gt; 0

. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)

(với

P(A) &gt; 0

). D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc cân đối. Biết số chấm là số chẵn, tính xác suất số chấm là $6$ .

Giải. Gọi $B$ là biến cố "số chấm chẵn", $A$ là biến cố "số chấm bằng $6$ ". $P(B) = \frac{1}{2}$ ; $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ . Vậy $P(A|B) = \frac{1}{3}$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính

\int_0^{\pi/2} \sin^2 x,dx

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

y = -x^2 + 4

và

y = 0

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tìm

m

để mặt phẳng

(P): x + 2y + mz - 1 = 0

song song với mặt phẳng

(Q): 2x + 4y + 6z + 5 = 0

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-D, 2-A, 3-B, 4-C.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (D): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: ""Biết rằng $B$ đã xảy ra" nghĩa là không gian mẫu thu hẹp lại thành $B$ ."
Câu 2 (A): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Xác suất có điều kiện của $A$ với điều kiện $B$ đã xảy ra, kí hiệu $P(A|B)$ , tính bằng $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ."
Câu 3 (B): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) > 0$ ."
Câu 4 (C): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Từ công thức trên suy ra công thức nhân xác suất: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$ (với $P(A) > 0$ )."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) > 0$ . Xác suất có điều kiện của $A$ với điều kiện $B$ đã xảy ra, kí hiệu $P(A|B)$ , tính bằng $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .
Tổng kết ghi nhớ: "Biết rằng $B$ đã xảy ra" nghĩa là không gian mẫu thu hẹp lại thành $B$ .

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc cân đối. Biết số chấm là số chẵn, tính xác suất số chấm là $6$ .
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 18: Xác suất có điều kiện ("Biết rằng $B$ đã xảy ra" nghĩa là không gian mẫu thu hẹp lại thành $B$ .).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Giải. Gọi $B$ là biến cố "số chấm chẵn", $A$ là biến cố "số chấm bằng $6$ ". $P(B) = \frac{1}{2}$ ; $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ . Vậy $P(A|B) = \frac{1}{3}$ .

Bài 4:

\dfrac{\pi}{4}

. Vì

\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}

nên

\int_0^{\pi/2} \sin^2 x,dx = \left[\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi/2} = \dfrac{\pi}{4}

Bài 5:

\dfrac{32}{3}

. Hoành độ giao điểm

x = \pm 2

;

S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2),dx = \left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \dfrac{8}{3}\right) - \left(-8 + \dfrac{8}{3}\right) = \dfrac{32}{3}

Bài 6:

m = 3

. Hai mặt phẳng song song khi các hệ số tỉ lệ:

\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{m}{6}

, suy ra

m = 3