Bài tập — Bài 17: Phương trình mặt cầu

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 17: Phương trình mặt cầu? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. C. Điều kiện có mặt cầu: $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$ ; nếu bằng $0$ chỉ còn một điểm, nếu âm thì không có điểm nào. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 17: Phương trình mặt cầu, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. B. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. C. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại. D. Bình phương hai vế ta được phương trình chính tắc: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$ .

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 17: Phương trình mặt cầu, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Trong không gian $Oxyz$ , mặt cầu tâm $I(a; b; c)$ , bán kính $R > 0$ là tập hợp các điểm $M(x; y; z)$ thỏa $IM = R$ . B. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 17: Phương trình mặt cầu, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Khai triển phương trình chính tắc, ta được phương trình tổng quát: $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ , trong đó $d = a^2 + b^2 + c^2 - R^2$ . C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 17: Phương trình mặt cầu, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Ví dụ 1. Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1; -2; 3)$ , bán kính $R = 2$ .

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 17: Phương trình mặt cầu để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Giải. $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 4$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính khoảng cách từ điểm $M(1; 0; 0)$ đến mặt phẳng $2x + y - 2z - 6 = 0$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P): x + y = 0$ và $(Q): y + z = 0$ .

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Viết phương trình mặt cầu tâm $I(0; 1; 2)$ đi qua điểm $A(1; 1; 1)$ .

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-C, 2-D, 3-A, 4-B.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (C): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Điều kiện có mặt cầu: $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$ ; nếu bằng $0$ chỉ còn một điểm, nếu âm thì không có điểm nào."
- Câu 2 (D): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Bình phương hai vế ta được phương trình chính tắc: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$ ."
- Câu 3 (A): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Trong không gian $Oxyz$ , mặt cầu tâm $I(a; b; c)$ , bán kính $R > 0$ là tập hợp các điểm $M(x; y; z)$ thỏa $IM = R$ ."
- Câu 4 (B): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Khai triển phương trình chính tắc, ta được phương trình tổng quát: $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ , trong đó $d = a^2 + b^2 + c^2 - R^2$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Trong không gian $Oxyz$ , mặt cầu tâm $I(a; b; c)$ , bán kính $R > 0$ là tập hợp các điểm $M(x; y; z)$ thỏa $IM = R$ . Bình phương hai vế ta được phương trình chính tắc: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$ .
- Tổng kết ghi nhớ: Điều kiện có mặt cầu: $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$ ; nếu bằng $0$ chỉ còn một điểm, nếu âm thì không có điểm nào.
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1; -2; 3)$ , bán kính $R = 2$ .
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 17: Phương trình mặt cầu (Điều kiện có mặt cầu: $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$ ; nếu bằng $0$ chỉ còn một điểm, nếu âm thì không có điểm nào.).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Giải. $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 4$ .
Bài 4: $\dfrac{4}{3}$ . Vì $d = \dfrac{|2\cdot 1 + 0 - 0 - 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{4}{3}$ .
Bài 5: $60^\circ$ . Với $\vec{n}_1 = (1; 1; 0)$ , $\vec{n}_2 = (0; 1; 1)$ : $\cos\varphi = \dfrac{|1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}$ , suy ra $\varphi = 60^\circ$ .
Bài 6: $x^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 2$ . Vì $R = IA = \sqrt{(1 - 0)^2 + 0 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2}$ .

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

a^2 + b^2 + c^2 - d &gt; 0

; nếu bằng

0

chỉ còn một điểm, nếu âm thì không có điểm nào. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 17: Phương trình mặt cầu, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Trong không gian

Oxyz

, mặt cầu tâm

I(a; b; c)

, bán kính

R &gt; 0

là tập hợp các điểm

M(x; y; z)

thỏa

IM = R

. B. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

, trong đó

d = a^2 + b^2 + c^2 - R^2

. C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Ví dụ 1. Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1; -2; 3)$ , bán kính $R = 2$ .

Giải. $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 4$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính khoảng cách từ điểm

M(1; 0; 0)

đến mặt phẳng

2x + y - 2z - 6 = 0

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính góc giữa hai mặt phẳng

(P): x + y = 0

và

(Q): y + z = 0

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Viết phương trình mặt cầu tâm

I(0; 1; 2)

đi qua điểm

A(1; 1; 1)

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-C, 2-D, 3-A, 4-B.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (C): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Điều kiện có mặt cầu: $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$ ; nếu bằng $0$ chỉ còn một điểm, nếu âm thì không có điểm nào."
Câu 2 (D): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Bình phương hai vế ta được phương trình chính tắc: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$ ."
Câu 3 (A): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Trong không gian $Oxyz$ , mặt cầu tâm $I(a; b; c)$ , bán kính $R > 0$ là tập hợp các điểm $M(x; y; z)$ thỏa $IM = R$ ."
Câu 4 (B): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Khai triển phương trình chính tắc, ta được phương trình tổng quát: $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ , trong đó $d = a^2 + b^2 + c^2 - R^2$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Trong không gian $Oxyz$ , mặt cầu tâm $I(a; b; c)$ , bán kính $R > 0$ là tập hợp các điểm $M(x; y; z)$ thỏa $IM = R$ . Bình phương hai vế ta được phương trình chính tắc: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$ .
Tổng kết ghi nhớ: Điều kiện có mặt cầu: $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$ ; nếu bằng $0$ chỉ còn một điểm, nếu âm thì không có điểm nào.

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1; -2; 3)$ , bán kính $R = 2$ .
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 17: Phương trình mặt cầu (Điều kiện có mặt cầu: $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$ ; nếu bằng $0$ chỉ còn một điểm, nếu âm thì không có điểm nào.).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Giải. $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 4$ .

Bài 4:

\dfrac{4}{3}

. Vì

d = \dfrac{|2\cdot 1 + 0 - 0 - 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{4}{3}

Bài 5:

60^\circ

. Với

\vec{n}_1 = (1; 1; 0)

\vec{n}_2 = (0; 1; 1)

\cos\varphi = \dfrac{|1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}

, suy ra

\varphi = 60^\circ

Bài 6:

x^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 2

. Vì

R = IA = \sqrt{(1 - 0)^2 + 0 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2}