Bài tập — Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 16: Công thức tính góc trong không gian? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng $\sin$ ; hai góc còn lại dùng $\cos$ . C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 16: Công thức tính góc trong không gian, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. B. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. C. Luôn lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng để góc không vượt quá $90^\circ$ . D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 16: Công thức tính góc trong không gian, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. C. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học. D. Góc trong không gian được xác định qua góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc pháp tuyến, và luôn lấy giá trị từ $0^\circ$ đến $90^\circ$ (trừ góc giữa hai vectơ có thể đến $180^\circ$ ).

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 16: Công thức tính góc trong không gian, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Dấu giá trị tuyệt đối đảm bảo góc lấy giá trị nhọn. B. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 16: Công thức tính góc trong không gian, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Ví dụ 1. Tính góc giữa hai đường thẳng có $\vec{u}_1 = (1; 0; 1)$ và $\vec{u}_2 = (0; 1; 1)$ .

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 16: Công thức tính góc trong không gian để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Giải. $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 1$ ; $|\vec{u}_1| = |\vec{u}_2| = \sqrt{2}$ . Do đó $\cos \varphi = \frac{1}{2}$ , suy ra $\varphi = 60^\circ$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính khoảng cách từ $O(0; 0; 0)$ đến mặt phẳng $x + y + z - 6 = 0$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A(1; 2; 3)$ , $B(2; 1; 0)$ , $C(0; 0; 1)$ .

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng $x + y = 0$ và $z = 1$ .

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-B, 2-C, 3-D, 4-A.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (B): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng $\sin$ ; hai góc còn lại dùng $\cos$ ."
- Câu 2 (C): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Luôn lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng để góc không vượt quá $90^\circ$ ."
- Câu 3 (D): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Góc trong không gian được xác định qua góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc pháp tuyến, và luôn lấy giá trị từ $0^\circ$ đến $90^\circ$ (trừ góc giữa hai vectơ có thể đến $180^\circ$ )."
- Câu 4 (A): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Dấu giá trị tuyệt đối đảm bảo góc lấy giá trị nhọn."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Góc trong không gian được xác định qua góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc pháp tuyến, và luôn lấy giá trị từ $0^\circ$ đến $90^\circ$ (trừ góc giữa hai vectơ có thể đến $180^\circ$ ). Góc giữa hai đường thẳng. Nếu hai đường thẳng có vectơ chỉ phương là $\vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$ , góc $\varphi$ giữa chúng thỏa $\cos \varphi = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|}$ , với $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$ .
- Tổng kết ghi nhớ: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng $\sin$ ; hai góc còn lại dùng $\cos$ .; Luôn lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng để góc không vượt quá $90^\circ$ .; Đường thẳng vuông góc mặt phẳng khi $\vec{u}$ cùng phương với $\vec{n}$ .
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Tính góc giữa hai đường thẳng có $\vec{u}_1 = (1; 0; 1)$ và $\vec{u}_2 = (0; 1; 1)$ .
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 16: Công thức tính góc trong không gian (Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng $\sin$ ; hai góc còn lại dùng $\cos$ .; Luôn lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng để góc không vượt quá $90^\circ$ .; Đường thẳng vuông góc mặt phẳng khi $\vec{u}$ cùng phương với $\vec{n}$ .).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Giải. $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 1$ ; $|\vec{u}_1| = |\vec{u}_2| = \sqrt{2}$ . Do đó $\cos \varphi = \frac{1}{2}$ , suy ra $\varphi = 60^\circ$ .
Bài 4: $2\sqrt{3}$ . Vì $d = \dfrac{|0 + 0 + 0 - 6|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ .
Bài 5: $4x - 5y + 3z - 3 = 0$ . Ta có $\overrightarrow{AB} = (1; -1; -3)$ , $\overrightarrow{AC} = (-1; -2; -2)$ , vectơ pháp tuyến $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-4; 5; -3)$ . Phương trình: $-4(x - 1) + 5(y - 2) - 3(z - 3) = 0 \Leftrightarrow 4x - 5y + 3z - 3 = 0$ . Kiểm tra: $B(2; 1; 0)$ thỏa $8 - 5 - 3 = 0$ ; $C(0; 0; 1)$ thỏa $3 - 3 = 0$ .
Bài 6: $x = t;\ y = -t;\ z = 1$ . (Giao tuyến đi qua $(0; 0; 1)$ , có vectơ chỉ phương $(1; -1; 0)$ .)

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

\sin

; hai góc còn lại dùng

\cos

. C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

90^\circ

. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

0^\circ

đến

90^\circ

(trừ góc giữa hai vectơ có thể đến

180^\circ

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Ví dụ 1. Tính góc giữa hai đường thẳng có $\vec{u}_1 = (1; 0; 1)$ và $\vec{u}_2 = (0; 1; 1)$ .

Giải. $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 1$ ; $|\vec{u}_1| = |\vec{u}_2| = \sqrt{2}$ . Do đó $\cos \varphi = \frac{1}{2}$ , suy ra $\varphi = 60^\circ$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính khoảng cách từ

O(0; 0; 0)

đến mặt phẳng

x + y + z - 6 = 0

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm

A(1; 2; 3)

B(2; 1; 0)

C(0; 0; 1)

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

x + y = 0

và

z = 1

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-B, 2-C, 3-D, 4-A.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (B): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng $\sin$ ; hai góc còn lại dùng $\cos$ ."
Câu 2 (C): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Luôn lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng để góc không vượt quá $90^\circ$ ."
Câu 3 (D): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Góc trong không gian được xác định qua góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc pháp tuyến, và luôn lấy giá trị từ $0^\circ$ đến $90^\circ$ (trừ góc giữa hai vectơ có thể đến $180^\circ$ )."
Câu 4 (A): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Dấu giá trị tuyệt đối đảm bảo góc lấy giá trị nhọn."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Góc trong không gian được xác định qua góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc pháp tuyến, và luôn lấy giá trị từ $0^\circ$ đến $90^\circ$ (trừ góc giữa hai vectơ có thể đến $180^\circ$ ). Góc giữa hai đường thẳng. Nếu hai đường thẳng có vectơ chỉ phương là $\vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$ , góc $\varphi$ giữa chúng thỏa $\cos \varphi = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|}$ , với $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$ .
Tổng kết ghi nhớ: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng $\sin$ ; hai góc còn lại dùng $\cos$ .; Luôn lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng để góc không vượt quá $90^\circ$ .; Đường thẳng vuông góc mặt phẳng khi $\vec{u}$ cùng phương với $\vec{n}$ .

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Tính góc giữa hai đường thẳng có $\vec{u}_1 = (1; 0; 1)$ và $\vec{u}_2 = (0; 1; 1)$ .
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 16: Công thức tính góc trong không gian (Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng $\sin$ ; hai góc còn lại dùng $\cos$ .; Luôn lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng để góc không vượt quá $90^\circ$ .; Đường thẳng vuông góc mặt phẳng khi $\vec{u}$ cùng phương với $\vec{n}$ .).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Giải. $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 1$ ; $|\vec{u}_1| = |\vec{u}_2| = \sqrt{2}$ . Do đó $\cos \varphi = \frac{1}{2}$ , suy ra $\varphi = 60^\circ$ .

Bài 4:

2\sqrt{3}

. Vì

d = \dfrac{|0 + 0 + 0 - 6|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}

Bài 5:

4x - 5y + 3z - 3 = 0

. Ta có

\overrightarrow{AB} = (1; -1; -3)

\overrightarrow{AC} = (-1; -2; -2)

, vectơ pháp tuyến

\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-4; 5; -3)

. Phương trình:

-4(x - 1) + 5(y - 2) - 3(z - 3) = 0 \Leftrightarrow 4x - 5y + 3z - 3 = 0

. Kiểm tra:

B(2; 1; 0)

thỏa

8 - 5 - 3 = 0

;

C(0; 0; 1)

thỏa

3 - 3 = 0

Bài 6:

x = t;\ y = -t;\ z = 1

. (Giao tuyến đi qua

(0; 0; 1)

, có vectơ chỉ phương

(1; -1; 0)