Bài 39: Hình chóp tứ giác đều

1. Kiến thức trọng tâm

Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình vuông và các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau, có chung đỉnh. Hình chóp tứ giác đều có $5$ mặt, $8$ cạnh và $5$ đỉnh.

Các thành phần gồm: đáy là hình vuông $ABCD$; đỉnh $S$; các mặt bên là bốn tam giác cân $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$ bằng nhau; các cạnh bên $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ bằng nhau; chiều cao là đoạn thẳng nối đỉnh $S$ với tâm của đáy, vuông góc với mặt đáy.

Trung đoạn là đoạn thẳng nối đỉnh $S$ với trung điểm của một cạnh đáy, nằm trên mặt bên. Bốn trung đoạn của hình chóp tứ giác đều đều bằng nhau.

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều bằng nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn: $S_{xq} = \dfrac{1}{2} \times p \times d$, trong đó $p$ là chu vi đáy, $d$ là trung đoạn.

Diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy: $S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}}$.

Thể tích của hình chóp tứ giác đều bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao: $V = \dfrac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times h$. Vì đáy là hình vuông cạnh $a$ nên $S_{\text{đáy}} = a^2$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $5$ cm, trung đoạn $6$ cm. Tính diện tích xung quanh.

Lời giải: Chu vi đáy là $p = 4 \times 5 = 20$ cm. Diện tích xung quanh là $S_{xq} = \dfrac{1}{2} \times 20 \times 6 = 60$ cm$^2$.

Ví dụ 2: Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $4$ cm và chiều cao $9$ cm. Tính thể tích.

Lời giải: Diện tích đáy là $S_{\text{đáy}} = 4^2 = 16$ cm$^2$. Thể tích là $V = \dfrac{1}{3} \times 16 \times 9 = 48$ cm$^3$.

3. Ghi nhớ

• Đáy là hình vuông; các mặt bên là tam giác cân bằng nhau; các cạnh bên bằng nhau.
• $S_{xq} = \dfrac{1}{2} \times p \times d$; $S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}}$.
• $V = \dfrac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times h$; đáy hình vuông cạnh $a$ thì $S_{\text{đáy}} = a^2$.