Bài 38: Hình chóp tam giác đều

1. Kiến thức trọng tâm

Hình chóp tam giác đều là hình chóp có đáy là tam giác đều và các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau, có chung đỉnh. Hình chóp tam giác đều có $4$ mặt, $6$ cạnh và $4$ đỉnh.

Các thành phần của hình chóp tam giác đều gồm: đáy là tam giác đều $ABC$; đỉnh $S$; các mặt bên là ba tam giác cân $SAB$, $SBC$, $SCA$ bằng nhau; các cạnh bên $SA$, $SB$, $SC$ bằng nhau; chiều cao là đoạn thẳng nối đỉnh $S$ với tâm của đáy, vuông góc với mặt đáy.

Trung đoạn của hình chóp tam giác đều là đoạn thẳng nối đỉnh $S$ với trung điểm của một cạnh đáy, nằm trên mặt bên. Trung đoạn chính là đường cao của tam giác cân ở mặt bên, và các trung đoạn của hình chóp tam giác đều đều bằng nhau.

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn: $S_{xq} = \dfrac{1}{2} \times p \times d$, trong đó $p$ là chu vi đáy, $d$ là trung đoạn.

Diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy: $S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}}$.

Thể tích của hình chóp tam giác đều bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao: $V = \dfrac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times h$, trong đó $h$ là chiều cao của hình chóp.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy $6$ cm, trung đoạn $5$ cm. Tính diện tích xung quanh.

Lời giải: Chu vi đáy là $p = 3 \times 6 = 18$ cm. Diện tích xung quanh là $S_{xq} = \dfrac{1}{2} \times 18 \times 5 = 45$ cm$^2$.

Ví dụ 2: Hình chóp tam giác đều có diện tích đáy $12$ cm$^2$ và chiều cao $9$ cm. Tính thể tích.

Lời giải: Thể tích là $V = \dfrac{1}{3} \times 12 \times 9 = 36$ cm$^3$.

3. Ghi nhớ

• Đáy là tam giác đều; các mặt bên là tam giác cân bằng nhau; các cạnh bên bằng nhau.
• $S_{xq} = \dfrac{1}{2} \times p \times d$; $S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}}$.
• $V = \dfrac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times h$.