Bài 32: Hình cầu

1. Kiến thức trọng tâm

• Hình cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách tâm $O$ một khoảng không vượt quá bán kính $R$. Mặt cầu là tập hợp các điểm cách $O$ một khoảng đúng bằng $R$.
• Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng, thiết diện là một hình tròn. Nếu mặt phẳng đi qua tâm, thiết diện là hình tròn lớn có bán kính $R$; nếu mặt phẳng cách tâm một khoảng d < R, thiết diện là hình tròn bán kính $\sqrt{R^{2} - d^{2}}$.
• Diện tích mặt cầu: $S = 4\pi R^{2}$.
• Thể tích hình cầu: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}$.

Hình cầu có thể tích bằng $\dfrac{2}{3}$ thể tích hình trụ ngoại tiếp nó (hình trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao $2R$).

2. Ví dụ minh họa

Một quả bóng có bán kính $12$ cm. Tính diện tích mặt cầu và thể tích của quả bóng. Lấy $\pi \approx 3,14$.

Lời giải: Diện tích mặt cầu $S = 4\pi R^{2} = 4 \times 3,14 \times 12^{2} = 4 \times 3,14 \times 144 = 1808,64$ cm$^{2}$. Thể tích $V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3} = \dfrac{4}{3} \times 3,14 \times 12^{3} = \dfrac{4}{3} \times 3,14 \times 1728 = 7234,56$ cm$^{3}$.

3. Ghi nhớ

• Diện tích mặt cầu $4\pi R^{2}$ bằng diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình cầu.
• Thể tích hình cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}$ — chú ý số mũ $3$ của $R$.
• Khi cắt hình cầu bởi mặt phẳng qua tâm ta được hình tròn lớn bán kính $R$.