Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

1. Kiến thức trọng tâm

Cho mẫu số liệu gồm $n$ giá trị $x_1, x_2, \dots, x_n$. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho biết giá trị "đại diện" của mẫu.

Số trung bình (trung bình cộng) là $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$. Nếu mẫu cho dưới dạng bảng tần số với các giá trị $x_i$ có tần số $n_i$ thì $\bar{x} = \dfrac{n_1x_1 + n_2x_2 + \cdots + n_kx_k}{n}$.

Trung vị $M_e$ là giá trị ở giữa mẫu khi đã sắp xếp theo thứ tự không giảm. Nếu $n$ lẻ, $M_e$ là giá trị thứ $\frac{n+1}{2}$. Nếu $n$ chẵn, $M_e$ là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa, tức là giá trị thứ $\frac{n}{2}$ và $\frac{n}{2} + 1$. Trung vị ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.

Tứ phân vị chia mẫu đã sắp xếp thành bốn phần bằng nhau: $Q_1$ là trung vị của nửa dưới, $Q_2 = M_e$, $Q_3$ là trung vị của nửa trên.

Mốt $M_o$ là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu. Một mẫu có thể có nhiều mốt hoặc không có mốt. Mốt rất hữu ích khi dữ liệu là định tính, ví dụ cỡ áo bán chạy nhất của một cửa hàng.

Khi mẫu có giá trị ngoại lệ quá lớn hoặc quá nhỏ, trung vị và mốt phản ánh xu thế trung tâm tốt hơn số trung bình.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Điểm kiểm tra của $5$ bạn là $6, 8, 7, 9, 10$. Tính số trung bình và trung vị.

Lời giải: Số trung bình $\bar{x} = \dfrac{6 + 8 + 7 + 9 + 10}{5} = 8$. Sắp xếp lại: $6, 7, 8, 9, 10$. Vì $n = 5$ lẻ nên trung vị $M_e = 8$.

3. Ghi nhớ

• Số trung bình: $\bar{x} = \dfrac{x_1 + \cdots + x_n}{n}$; dễ bị kéo lệch bởi giá trị ngoại lệ.
• Trung vị: giá trị ở giữa sau khi sắp xếp; ổn định hơn trước giá trị bất thường.
• Tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$ chia mẫu thành bốn phần bằng nhau.
• Mốt $M_o$: giá trị có tần số lớn nhất; hữu ích với dữ liệu định tính.