Bài tập ôn — Toán 10 (Kết nối tri thức) — Học kì 1 — Mức 1 tiết

Phạm vi: Bài 1 đến Bài 6 (Mệnh đề, Tập hợp, Bất phương trình bậc nhất hai ẩn, Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, Giá trị lượng giác, Hệ thức lượng trong tam giác)

---

Phần 1: Cơ bản

Bài 1. Xét tính đúng sai của mệnh đề "\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0."

Bài 2. Cho $A = {1, 2, 3, 4}$, $B = {3, 4, 5, 6}$. Tìm $A \cap B$, $A \cup B$.

Bài 3. Viết tập {x \in \mathbb{R} \mid 1 < x \le 5} dưới dạng khoảng.

Bài 4. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $2x + y \le 3$.

b) $x^2 + y \ge 1$.

c) xy < 2.

Bài 5. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x + 2y \le 4$: $A(0; 0)$, $B(3; 1)$, $C(1; 2)$?

Bài 6. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x \ge 0$ trên mặt phẳng tọa độ.

Bài 7. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $y \le 2$ trên mặt phẳng tọa độ.

Bài 8. $\sin 30^\circ$ bằng bao nhiêu?

Bài 9. $\cos 180^\circ$ bằng bao nhiêu?

Bài 10. $\sin 0^\circ$ bằng bao nhiêu?

Bài 11. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 3$, $AC = 4$, góc $A = 90^\circ$. Tính $BC$.

Bài 12. Cho tam giác $ABC$ có $BC = 10$, góc $A = 30^\circ$. Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Bài 13. Cho $A = [-2; 3]$, $B = (0; 5]$. Tìm $A \cap B$.

Bài 14. Cho $A = (-\infty; 1)$, $B = [0; +\infty)$. Tìm $A \cup B$.

Bài 15. Phủ định của mệnh đề "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 3$" là gì?

Bài 16. Cặp $(1; 2)$ có phải là nghiệm của hệ $\begin{cases} x + y \le 4 \ x - y \ge -1 \end{cases}$ không? Vì sao?

---

Phần 2: Nâng cao

Bài 17. Biểu diễn miền nghiệm của hệ $\begin{cases} x + y \le 5 \ x \ge 0 \ y \ge 0 \end{cases}$ trên mặt phẳng tọa độ.

Bài 18. Tìm giá trị lớn nhất của $F = x + 2y$ trên miền nghiệm của hệ ở Bài 17.

Bài 19. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 7$, $AC = 9$, góc $A = 120^\circ$. Tính $BC$.

Bài 20. Cho tam giác $ABC$ có $BC = 6$, góc $B = 60^\circ$, góc $C = 45^\circ$. Tính góc $A$ và cạnh $AB$ (làm tròn đến 2 chữ số thập phân).

Bài 21. Chứng minh $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ với $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$.

Bài 22. Cho $A = {x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x + 2 = 0}$. Liệt kê các phần tử của $A$.

Bài 23. Cho $A = [m; 2]$, $B = [1; 5]$. Tìm $m$ để $A \cap B = \varnothing$.

Bài 24. Một công ty sản xuất $x$ chiếc áo loại A (lãi 50 nghìn đồng/chiếc) và $y$ chiếc áo loại B (lãi 80 nghìn đồng/chiếc). Biết $x + y \le 100$, $x \le 60$, $y \le 70$, $x, y \ge 0$. Hỏi nên sản xuất bao nhiêu chiếc mỗi loại để lãi nhiều nhất? Lãi lớn nhất là bao nhiêu?

---

Đáp án

Bài 1. Đúng (vì $x^2 \ge 0$ nên x^2 + 1 \ge 1 > 0).

Bài 2. $A \cap B = {3, 4}$; $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$.

Bài 3. $(1; 5]$.

Bài 4. Chỉ a) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 5. Chỉ điểm $A(0; 0)$ thỏa mãn ($0 \le 4$). $B$: 3 + 2 = 5 > 4; $C$: 1 + 4 = 5 > 4.

Bài 6. Nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$ (kể cả trục $Oy$).

Bài 7. Nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng $y = 2$ (kể cả đường thẳng $y = 2$).

Bài 8. $\dfrac{1}{2}$.

Bài 9. $-1$.

Bài 10. $0$.

Bài 11. $BC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.

Bài 12. Theo định lí sin: $\dfrac{BC}{\sin A} = 2R \Rightarrow 2R = \dfrac{10}{\sin 30^\circ} = 20$, suy ra $R = 10$.

Bài 13. $A \cap B = (0; 3]$.

Bài 14. $A \cup B = \mathbb{R}$.

Bài 15. "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ne 3$."

Bài 16. Có, vì $1 + 2 = 3 \le 4$ và $1 - 2 = -1 \ge -1$.

Bài 17. Miền nghiệm là tam giác (kể cả biên) với các đỉnh $O(0; 0)$, $A(5; 0)$, $B(0; 5)$.

Bài 18. $F(0; 0) = 0$, $F(5; 0) = 5$, $F(0; 5) = 10$. Giá trị lớn nhất là $10$ tại $(0; 5)$.

Bài 19. $BC^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos 120^\circ = 49 + 81 - 126 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 193$, suy ra $BC = \sqrt{193} \approx 13{,}89$.

Bài 20. Góc $A = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$. $AB = 6 \cdot \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 75^\circ} \approx 6 \cdot \dfrac{0{,}707}{0{,}966} \approx 4{,}39$.

Bài 21. Theo định nghĩa, với điểm $M(x_0; y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị ứng với góc $\alpha$, ta có $\sin \alpha = y_0$, $\cos \alpha = x_0$ và $x_0^2 + y_0^2 = 1$, suy ra $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Bài 22. $A = {1, 2}$ (vì $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$).

Bài 23. m > 2 (khi đó $A = [m; 2] = \varnothing$ nên $A \cap B = \varnothing$).

Bài 24. Lợi nhuận $F = 50x + 80y$ (nghìn đồng). Xét các đỉnh của miền nghiệm: $(0; 0) \to 0$; $(60; 0) \to 3000$; $(60; 40) \to 6200$; $(30; 70) \to 7100$; $(0; 70) \to 5600$. Vậy sản xuất $30$ chiếc loại A và $70$ chiếc loại B, lãi lớn nhất $7,100$ nghìn đồng $= 7{,}1$ triệu đồng.